Question

У трикутнику АВС, де <А=45° проведено висоту ВК, яка дорівнює 5✓2 см. Знайдіть сторони АВ і АС, якщо ВС вдвічі більше, ніж АК. ​

Answer 1

Ответ:

АВ=10 см, АС=5(√2+√6) см

Объяснение:

У трикутнику АВС, де ∠А=45° проведено висоту ВК, яка дорівнює 5✓2 см. Знайдіть сторони АВ і АС, якщо ВС вдвічі більше, ніж АК.

Нехай АВС - даний трикутник. ∠А=45°, ВК⊥АС, ВК=5√2 см

1.

Розглянемо прямокутний трикутник АВК(∠АКВ=90°)

За теоремою про суму кутів прямокутного трикутника знайдемо ∠АВК.

∠АВК=90°-∠А=90°-45°=45°

Отже, ΔАВК - рівнобедрений з основою АВ.

АК=ВК=5√2(см) - як бічні сторони рівнобедреного трикутника

За теоремою Пифагора знайдемо гіпотенузу АВ.

АВ²=АК²+ВК²

АВ²=(5√2)²+(5√2)²=50+50=100

АВ=10 (см)

2.

Розглянемо прямокутний трикутник ВКС(∠ВКС=90°)

За умовою ВС вдвічі більше, ніж АК. Но АК=ВК, тому гіпотенуза ВС вдвічі більше, ніж катет ВК.

• Якщо гіпотенуза прямокутного трикутника  удвічі довша від катета, то кут, що лежить навпроти цього катета, дорівнює 30°.

Отже, ∠С=30°

За означенням тангенса гострого кута прямокутного трикутника:

$\bf tg\angle C=\dfrac{BK}{KC}$

$\sf KC=\dfrac{BK}{tg30^\circ} =\dfrac{5\sqrt{2} }{\frac{1}{\sqrt{3} } } =\bf 5\sqrt{6}$  (cм)

3.

За аксиомою вимірювання відрізків маємо:

АС=АК+КС=5√2+5√6

АС=5(√2+√6) см

Answer 2

Давайте розв'яжемо задачу.

У трикутнику прямокутного трикутника АВС, де кут А дорівнює 45°, ми можемо скористатися властивостями трикутників, щоб знайти сторони АВ і АС.

1. Висота ВК є бічною стороною прямокутного трикутника, тому ми можемо скористатися теоремою Піфагора для знаходження сторін АВ і АС.

Теорема Піфагора говорить, що в прямокутному трикутнику квадрат довжини гіпотенузи (у) дорівнює сумі квадратів довжин катетів (a та b):

$u^2 = a^2 + b^2$

У нашому випадку катети - це АК та КВ.

2. За умовою маємо ВК = 5√2 см, тобто КВ = 5√2 см.

3. Давайте позначимо АК як "х". Отже, АВ = АК + КВ = "х" + 5√2 см.

4. Дано, що ВС вдвічі більше, ніж АК, отже ВС = 2АК = 2х см.

5. За теоремою Піфагора: $AC^2 = AV^2 + VC^2$ $(2x)^2 = (x + 5\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2$

Розкриємо дужки та спростимо:

$4x^2 = x^2 + 10x\sqrt{2} + 50 + 50$ $3x^2 = 10x\sqrt{2} + 100$ $x^2 = \frac{10x\sqrt{2} + 100}{3}$

6. Тепер, ми знаємо, що ВС = 2АК, отже ВС = 2x. Ми також знаємо, що ВС вдвічі більше, ніж АК, тому

$2x = \frac{10x\sqrt{2} + 100}{3}$

Розв'яжемо це рівняння відносно "х" та знайдемо значення "х".

$6x = 10x\sqrt{2} + 100$ $10x\sqrt{2} = 6x - 100$ $5x\sqrt{2} = 3x - 50$ $x = \frac{3x - 50}{5\sqrt{2}}$

7. Знаходження значення "х": $x = \frac{3x - 50}{5\sqrt{2}}$

Перегрупуємо та спростимо:

$x = \frac{3}{5\sqrt{2}}x - \frac{10\sqrt{2}}{5\sqrt{2}}$ $x = \frac{3}{5\sqrt{2}}x - \frac{10}{5}$ $x = \frac{3}{5\sqrt{2}}x - 2$

Тепер знайдемо значення "х" шляхом розв'язання цього рівняння:

$x + 2 = \frac{3}{5\sqrt{2}}x$ $x\left(1 - \frac{3}{5\sqrt{2}}\right) = 2$ $x\left(\frac{5\sqrt{2} - 3}{5\sqrt{2}}\right) = 2$