Question

Задан равносторонний треугольник ABC, в который вписана окружность радиусом 3√3. Найдите: а) площадь треугольника;б) радиус описанной около треугольника АВС окружности;в) длину меньшей дуги АВ.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

а) Площадь равностороннего треугольника ABC можно вычислить, зная длину его стороны. Радиус описанной окружности равен двум радиусам вписанной окружности, то есть 6√3. Так как треугольник ABC равносторонний, все его стороны равны, и длина каждой стороны равна 2 * радиус вписанной окружности:

AB = BC = AC = 2 * 3√3 = 6√3.

Площадь равностороннего треугольника можно вычислить по формуле:

S = (a^2 * √3) / 4,

где a - длина стороны треугольника. Подставляя значения, получаем:

S = (6√3)^2 * √3 / 4 = 54√3.

Ответ: S = 54√3.

б) Радиус описанной около треугольника АВС окружности можно вычислить по формуле:

R = a / (2 * sin(α)),

где a - длина стороны треугольника, α - любой угол треугольника. Так как треугольник ABC равносторонний, то любой угол равен 60 градусам. Подставляя значения, получаем:

R = 6√3 / (2 * sin(60°)) = 6√3 / √3 = 6.

Ответ: R = 6.

в) Меньшая дуга АВ находится на окружности с радиусом 6, проходящей через вершины треугольника. Длина меньшей дуги АВ равна сотой доле длины окружности, умноженной на угол, соответствующий этой дуге. Угол меньшей дуги АВ равен 60 градусам, так как это треть от центрального угла в 180 градусов. Длина окружности равна 2πR, где R - радиус описанной окружности. Подставляя значения, получаем:

l = (60 / 360) * 2π * 6 = π.

Ответ: l = π.

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте разберемся по частям:

а) Площадь треугольника ABC:

Рассмотрим вписанный в равносторонний треугольник ABC круг радиусом r = 3√3. Внутри треугольника ABC проведем радиусы, которые будут перпендикулярны сторонам треугольника и проходить через их середины. Это создаст три равносторонних треугольника, каждый из которых будет половиной треугольника ABC.

Таким образом, каждый из этих маленьких равносторонних треугольников будет иметь высоту, равную радиусу вписанной окружности r = 3√3, и основание, равное половине стороны треугольника ABC. Площадь каждого такого маленького треугольника можно найти по формуле S = (основание * высота) / 2.

Площадь одного маленького треугольника: S1 = (1/2 * (1/2 * AB) * (3√3)) = (1/4 * AB * 3√3)

Так как у нас есть три таких треугольника, площадь всего треугольника ABC будет: S(ABC) = 3 * S1 = 3 * (1/4 * AB * 3√3) = (3/4 * AB * 3√3) = (9/4 * AB√3)

б) Радиус описанной около треугольника ABC окружности:

Радиус описанной около треугольника окружности равен половине стороны треугольника ABC. Так как у нас уже есть площадь треугольника ABC, мы можем найти его сторону AB.

Площадь треугольника ABC = (9/4 * AB√3) AB = (4/9 * площадь треугольника ABC) / √3

Теперь мы можем найти радиус описанной около треугольника окружности:

Радиус описанной около треугольника окружности = (AB / 2) = [(4/9 * площадь треугольника ABC) / (2 * √3)]

в) Длина меньшей дуги AB:

Длина меньшей дуги окружности, вписанной в треугольник ABC, равна длине дуги, заключенной между точками A и B. Длину дуги окружности можно найти по формуле L = r * угол (в радианах), где r - радиус окружности, а угол - угол между лучами, исходящими из центра окружности к точкам A и B.

У нас уже есть радиус вписанной окружности r = 3√3. Теперь нужно найти угол между лучами, исходящими из центра окружности к точкам A и B. Этот угол равен углу в треугольнике ABC между сторонами AB и BC, так как BC является радиусом вписанной окружности.

Треугольник ABC - это равносторонний треугольник, и угол между сторонами AB и BC составляет 60 градусов (по определению равностороннего треугольника).

Теперь мы можем найти длину меньшей дуги AB:

L(AB) = (3√3 * 60°) = (3√3 * π/3) = π√3

Итак, ответы: а) Площадь треугольника ABC: (9/4 * AB√3) б) Радиус описанной около треугольника окружности: [(4/9 * площадь треугольника ABC) / (2 * √3)] в) Длина меньшей дуги AB: π√3