Question

4. Сторона BC паралелограма ABCD вдвічі більша сторони AB. Бісектриси кутів A і B перетинають пряму CD у точках M і N, причому MN = 12. Знайдіть сторони паралелограма.

Answer 1

Ответ:

AB = 4, BC = 8, CD = 4, DA = 8.

Объяснение:

Позначимо сторону АВ як "a", тоді сторона ВС буде "2a", оскільки ВС вдвічі більша за АВ в паралелограмі ABCD.

Знаючи, що бісектриси кутів А і В перетинають пряму CD у точках M і N, а також те, що MN = 12, ми можемо використати властивість паралелограма, згідно з якою бісектриси кутів поділяють сторони паралелограма на дві рівні частини.

Тому, можна записати:

MC + CM = 2a

MC + CM = 2a ND + DN = a

MC + CM = 2a ND + DN = a Також, оскільки MN = 12:

MC + CM = 2a ND + DN = a Також, оскільки MN = 12:MC + CM + ND + DN = 2a + a = 3a = 12

MC + CM = 2a ND + DN = a Також, оскільки MN = 12:MC + CM + ND + DN = 2a + a = 3a = 12Отже, a = 4.

Тепер ми можемо знайти сторони паралелограма ABCD:

AB = a = 4

AB = a = 4BC = 2a = 2 × 4 = 8

AB = a = 4BC = 2a = 2 × 4 = 8CD = AB = a = 4

AB = a = 4BC = 2a = 2 × 4 = 8CD = AB = a = 4DA = BC = 8

Отже, сторони паралелограма ABCD дорівнюють: AB = 4, BC = 8, CD = 4, DA = 8.

Answer 2

Давайте розглянемо задачу крок за кроком:

1. Позначимо довжину сторони AB як "x".
2. За умовою задачі, сторона BC вдвічі більша за сторону AB, тобто BC = 2x.
3. Розглянемо трикутник ABC. За теоремою бісектриси, бісектриса кута A розділить сторону BC на відповідні пропорції, тобто BM/CM = AB/AC. Ми вже знаємо, що BC = 2x, тому CM = 2x/2 = x.
4. Знаючи довжини BM і CM, ми можемо знайти довжину AC, використовуючи відомі пропорції: AB/AC = BM/CM. Підставимо значення: x/AC = x/x, і отримаємо AC = x.
5. Зараз у нас є значення BC і AC, і ми можемо знайти діагональ BD паралелограма ABCD. Діагональ BD дорівнює векторній сумі сторін BC і AC. Тобто BD = BC + AC = 2x + x = 3x.
6. Ми також знаємо, що діагональ BD перетинає пряму CD у точці N, і за умовою задачі MN = 12. Отже, BD = DN + BN, або 3x = DN + BN.
7. Враховуючи, що MN = 12 і BD = 3x, ми можемо скласти рівняння: DN + BN = 12.

Тепер ми маємо два рівняння:

1. DN + BN = 12
2. 3x = DN + BN

Давайте вирішимо цю систему рівнянь. Віднімемо друге рівняння від першого:

(DN + BN) - (DN + BN) = 12 - 3x 0 = 12 - 3x

Тепер розв'яжемо це рівняння відносно x:

3x = 12 x = 12 / 3 x = 4

Отже, x = 4, і ми можемо знайти довжини сторін паралелограма ABCD:

AB = 4 (за умовою) BC = 2x = 2 * 4 = 8 AC = x = 4 BD = 3x = 3 * 4 = 12

Отже, сторони паралелограма ABCD мають такі довжини: AB = 4 BC = 8 AC = 4 BD = 12