Question

Помогите, пожалуйста,уже всю голову сломала))) Диаметры оснований усеченного конуса равны 4 и 6. Найдите объем шара, вписанного в усеченный конус.

Answer 1

$V=\frac{4}{3}piR^{3}$

 

Рассмотрим усеченный конус в продольном сечении. Это равнобедренная трапеция с основаниями AD=b=6 см и BC=a=4 см.

В четырехугольник окружность можно вписать только в том случае, если суммы его противоположных сторон равны. т.е.:AB+DC= AD+BC или 2a= b+c

Бедро трапеции выражается через высоту по теореме Пифагора: 

 

 $BC= a= \sqrt{h^{2}+(\frac{c-b}{2})^{2}$

 

Зная, что 2a= b+c, получаем:

 

$b+c=2\sqrt{h^{2}+(\frac{c-b}{2})^{2}$

 

Упростив выражение получим:  

 

$h=\sqrt{(\frac{c+b}{2})^{2}-(\frac{c-b}{2})^{2}$ 

 

$h=\frac{1}{2}\sqrt{({c+b})^{2}-({c-b})^{2}$

используем формулы Квадрат суммы и Квадрат разности и после раскрытия скобок и упрощения получим

 

$h=\sqrt{bc}$ 

 

h=√(4*6)=√24=2√6

Радиус вписанной окружности равен половине высоты, т.к. центр окружности равноудален от точек кассания со сторонами/основаниями трапеции.

 

r=½h=½*2√6=√6

 

Радиус рассмотренной окружности и будет радиусом шара

 

$V=\frac{4}{3}piR^{3}$  

 

$V=\frac{4}{3}pi(\sqrt{6})^{3}$

 

$V=\frac{4}{3}pi6\sqrt{6}=8pi\sqrt{6}$

 

Ответ:  $V=8pi\sqrt{6}$

 

 

 

 

 

 

 

Answer 2

Для того чтобы найти объем шара, вписанного в усеченный конус, мы можем воспользоваться подходом, основанным на подобии геометрических фигур.

1. Рассмотрим усеченный конус с верхним радиусом R (в данном случае R = 6), нижним радиусом r (в данном случае r = 4) и высотой h (которую мы должны найти).

2. Построим пирамиду, которая вписывается в этот усеченный конус. Пирамида будет иметь такие же верхний и нижний радиусы (6 и 4) и такую же высоту h.

3. Теперь мы знаем, что объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания пирамиды на ее высоту: V_пирамиды = (1/3) * S_основания * h.

4. Зная, что площадь основания пирамиды можно выразить через радиус r как S_основания = π * r^2, и подставив r = 4, получим S_основания = 16π.

5. Теперь мы можем записать формулу для объема пирамиды: V_пирамиды = (1/3) * 16π * h.

6. Теперь найдем высоту h, которая равна высоте усеченного конуса. Мы можем воспользоваться тем, что подобные треугольники внутри усеченного конуса и пирамиды подобны. Таким образом, отношение высоты пирамиды h к высоте усеченного конуса H будет равно отношению малого радиуса r к большому радиусу R:

h/H = r/R h/ H = 4/6 h/H = 2/3

Теперь мы можем выразить высоту H усеченного конуса через h:

H = (3/2) * h

7. Теперь мы можем подставить выражение для H в формулу объема пирамиды:

V_пирамиды = (1/3) * 16π * h V_пирамиды = (16/3)π * h

8. Так как объем шара, вписанного в усеченный конус, равен объему пирамиды, мы получаем:

V_шара = V_пирамиды = (16/3)π * h

Теперь у нас есть формула для объема шара, вписанного в усеченный конус, в зависимости от его высоты h. Для нахождения точного значения объема, вам нужно знать высоту усеченного конуса. Если у вас есть значение высоты h, вы можете использовать эту формулу для расчета объема шара.