Question

Объясните почему: "в усеченный конус можно вписать сферу тогда и только тогда, когда образующая усеченного конуса равна сумме радиусов оснований"? Я знаю, что сфера называется вписанной в усеченный конус, если она касается всех образующих и обоих оснований конуса, но всё равно не понимаю откуда такое следствие.

Answer 1

Любое осевое сечение усеченного конуса - это равнобедренная трапеция (причем одна и та же, конус - фигура вращения), а осевое сечение сферы (и вообще любое сечение сферы) - это окружность. 

Если можно вписать сферу в конус, значит в любое осевое сечение можно вписать окружность. А в описанной равнобедренной трапеции боковая сторона равна полусумме оснований. И наоборот, если равна - то можно вписать.

Отсюда следует и утверждение задачи.

 

Вообще,  базовое утверждение касается описанных выпуклых четырехугольников - у них суммы противоположных сторон равны. И наоборот - если равны, то можно вписать окружность.

Answer 2

Конечно, попробую объяснить! Для начала, у нас есть усеченный конус, у которого радиусы оснований обозначим как \( r_1 \) (меньшее основание) и \( r_2 \) (большее основание). Пусть \( l \) - это образующая конуса.

Если сфера вписана в этот усеченный конус так, чтобы касаться всех его образующих и обоих оснований, это означает, что радиус сферы равен радиусу окружности, которая получается при пересечении сферы и плоскости, содержащей образующую и центр меньшего основания.

Известно, что сфера касается образующих, значит, расстояние от центра сферы до каждой из образующих равно радиусу сферы. Также, она касается обоих оснований, значит, радиусы сферы и радиусы оснований образуют прямой угол (так как они перпендикулярны к касательным плоскостям в точках касания).

По теореме Пифагора для треугольника, образованного радиусом сферы, образующей конуса и расстоянием между центром сферы и центром меньшего основания:

\[ r^2 + l^2 = (r_2 - r)^2 \]

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

\[ r^2 + l^2 = r_2^2 - 2r_2r + r^2 \]

Получаем:

\[ l^2 = r_2^2 - 2r_2r \]

Отсюда видно, что \( l^2 \) зависит только от радиусов оснований конуса, и это соотношение выполняется тогда и только тогда, когда \( l = r_1 + r_2 \), так как \( l^2 = (r_1 + r_2)^2 \). Таким образом, условие \( l = r_1 + r_2 \) обеспечивает вписывание сферы в усеченный конус.

Это условие связано с особенностью геометрического расположения сферы относительно конуса, обеспечивая точное касание всех необходимых элементов.