Question

В круге с центром в точке О проведен диаметр АВ. Через точки А и В проведены касательные. Третья касательная, проведенная через точку М окружности, пересекает первые две касательные в точках С и Д. Докажите, что треугольник СОД прямоугольный.

Answer 1

Треугольники СМО и САО равны (ну, например, по трем сторонам :)), поэтому СО - биссектриса угла МОА. Аналогично - из равенства треугольников MOD и ODB - OD - биссектриса угла МОВ. Поэтому СО и OD - биссектрисы смежных углов. ПОэтому они перпендикулярны, чтд.

 

Если кому-то :) кажется сложным утверждение про биссектрисы смежных углов, сумма углов СМО и МОD равна половине суммы углов МОА и МОВ, то есть 180/2= 90 градусов. По-существу, это и есть доказательство того, что биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны

Answer 2

Соединим точку М с концами диаметра АВ.
Получим прямоугольный треугольник АМВ, т.к. угол АМВ опирается на диаметр.
Отрезки АС=СМ и МД=ДВ по скойству отрезков касательных к окружности из одной точки.
следовательно,   точки А и М, М и В  попарно равноудалены от СО и ОД, являющихся биссектрисами углов, на которых лежит центр вписанной в угол окружности ( в угол АСД и угол СДВ.
Отсюда отрезки ОС и ОД перпендикулярны хордам АМ и МВ.
Теперь расмотрим четырезугоьник ЕМКО.
Угол АМВ - прямой, так как опирается на диаметр.
Углы Е и К тоже прямые. следовательно, угол ЕОК - прямой.
Треугольник СОД - прямоугольный.

Answer 3

Чтобы доказать, что треугольник СОД прямоугольный, нам нужно показать, что угол между стороной СО и стороной ОD равен 90 градусов.

Для начала, рассмотрим, что:

1. Окружность с центром в точке О имеет радиус R (половина диаметра АВ).

2. Поскольку АВ - диаметр, угол AOB (угол между касательными) равен 90 градусов.

3. Треугольник АОМ - прямоугольный, так как одна из его сторон (АО) является радиусом окружности, а другая сторона (АМ) - касательной к окружности. Таким образом, угол AOM также равен 90 градусов.

Теперь давайте рассмотрим треугольник СОД:

4. Угол ОСА (угол между радиусом ОС и касательной АС) равен 90 градусов (по свойству касательных к окружности, угол между радиусом и касательной перпендикулярен).

5. Угол ОDA (угол между радиусом ОD и касательной BD) также равен 90 градусов (по той же причине).

Теперь мы видим, что у треугольника СОД есть два угла (ОСА и ОDA), каждый из которых равен 90 градусов. Следовательно, треугольник СОД прямоугольный, и угол между стороной СО и стороной ОD равен 90 градусов, что и требовалось доказать.