Question

Апофема правильной четырехуголоной пирамиды равна а, плоский угол при вершине равна "альфа". Найти V пирамиды

Answer 1

Апофема - высота боковой грани, т.к. пирамида правильная, то боковые грани - равнобедренные треугольники, а в основании лежит квадрат. Если высота (ещё медиана и биссектриса, к тому же) равнобедренного треугольника равна а, угол при вершине альфа (Х), то основание треугольника равно b=2a*tg(X/2). Пусть высота пирамиды h, тогда выполняется теорема Пифагора для полуоснования, апофемы и высоты:

$(b/2)^2+h^2=a^2;\\ h=\sqrt{a^2-(b/2)^2}=a\sqrt{1-tg^2(\alpha/2)}\\ V=Sh/3=b^2h/3=4a^2tg^2(\alpha/2)*a\sqrt{1-tg^2(\alpha/2)}/3=\\ =4a^3/3*tg^2(\alpha/2)\sqrt{1-tg^2(\alpha/2)}$

Answer 2

Объем $V$ четырехугольной пирамиды можно найти, используя следующую формулу:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{основания} \cdot h,$

где $S_{основания}$ - площадь основания, а $h$ - высота пирамиды.

Для четырехугольной пирамиды с апофемой $a$ и углом при вершине $\alpha$ необходимо разделить её на четыре равнобедренных треугольника и применить тригонометрические соотношения.

Первым шагом найдем длину боковой стороны $s$ основания. Поскольку у нас есть апофема $a$ и угол $\alpha$, мы можем использовать тангенс:

$\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{s/2}{a} \Rightarrow s = 2a \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right).$

Теперь, найдем площадь основания $S_{основания}$:

$S_{основания} = \frac{s^2}{4} = a^2 \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right).$

Далее, нам нужно найти высоту $h$ пирамиды. Для этого разделим четырехугольную пирамиду на два равнобедренных треугольника. Высоту можно найти, используя:

$h = a \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right).$

Теперь мы можем найти объем $V$:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{основания} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot a^2 \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cdot a \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{a^3}{3} \tan^3\left(\frac{\alpha}{2}\right).$

Это и есть формула для объема четырехугольной пирамиды с заданными параметрами.