Question

1) Через точку А окружности проведены касательная и хорда, равная радиусу окружности. Найдите угол между ними. 2) найдите sin a или tg a, если cos a 1/3 3) Найдите площадь трапеции АВСД с основаниями АД и ВС, если АВ=СД= 5 см, ВС= 7 см, АД= 13 см. 4) Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит одну из боковых сторон на отрезки длиной 3см и 4см, считая от основания. Найдите периметр треугольника. 5) В параллелограмме АВСД сторона АВ равна 12 см, угол А=45 градусов. Найдите площадь параллелограмма, если его диагональ ВД перпендикулярна АД 6) Боковая сторона равнобедренной трапеции равна 48 см, а средняя линия делится диагональю на два отрезка, равный 11 см и 35 см. Найдите углы трапеции.

Answer 1

Все, что смогла, написала, во вложениях)

Answer 2

Давайте разберем поочередно каждое задание.

1. Угол между касательной и хордой в точке касания равен половине угла, соответствующего центральному углу, образованному хордой. Так как длина хорды равна радиусу окружности, центральный угол равен 60 градусов. Значит, угол между касательной и хордой равен половине этого угла, то есть 30 градусов.

2. Если $\cos(a) = \frac{1}{3}$, то $\sin(a) = \sqrt{1 - \cos^2(a)}$ и $\tan(a) = \frac{\sin(a)}{\cos(a)}$. Подставляем значение $\cos(a) = \frac{1}{3}$ и находим: $\sin(a) = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{2\sqrt{2}}{3},$ $\tan(a) = \frac{\sin(a)}{\cos(a)} = \frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}} = 2\sqrt{2}.$

3. Площадь трапеции $ABCD$ можно найти, используя формулу: $S = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2}$, где $h$ - высота трапеции. Сначала найдем высоту, используя теорему Пифагора для треугольника $ABD$: $BD^2 = AB^2 - AD^2 = 5^2 - 13^2 = -144.$ Поскольку $BD$ не может быть отрицательным, возникает противоречие, и задача имеет ошибку.

4. Пусть $O$ - центр вписанной окружности, $E$ - точка касания. По условию $BE = 3$ см, $DE = 4$ см. Из прямоугольного треугольника $BEO$ найдем $BO = \sqrt{BE^2 + EO^2}$: $BO = \sqrt{3^2 + r^2},$ где $r$ - радиус вписанной окружности.

   Так как $BO = CO$ (радиус окружности), где $CO = 4$ см, получаем уравнение: $\sqrt{3^2 + r^2} = 4.$ Решив это уравнение, получаем $r = \sqrt{7}$ см.

   Периметр треугольника $ABC$ равен $2 \cdot BC + AB = 2 \cdot 7 \, \text{см} + 5 \, \text{см} = 19 \, \text{см}$.

5. Площадь параллелограмма можно найти используя формулу $S = AB \times h$, где $h$ - высота параллелограмма. В прямоугольном треугольнике $ABD$ по теореме Пифагора находим $h$: $h = AD \sin(\angle A) = AD \sin(45^\circ) = \frac{AD}{\sqrt{2}} = \frac{13 \, \text{см}}{\sqrt{2}}.$ Теперь находим площадь: $S=AB\times$