Question

 В параллелограмме ABCD на сторонах BC и AD отмечены соответственно точки  E и M так, что BE = DM. Докажите, что четырехугольник  AECM параллелограмм.

Answer 1

Дано: АBCD - параллелограмм.
E принадлежит ВС
М принадлежит АD
BE=DM

Решение:
ABCD - параллелограмм, то его противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.
Рассмотрим треугольник ABE и треугольник DCM
У них BE=DM по условию, угол В=угол D по свойству параллелограмма, AB=CD по свойству параллелограмма. То треугольники равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников)
Тогда EC=AM, AE=CM. То AECM - параллелограмм по свойству противолежащих сторон.

Answer 2

Чтобы доказать, что четырехугольник AECM является параллелограммом, нам нужно показать, что противоположные стороны AЕ и MC параллельны, и что противоположные стороны AE и CM равны.

Итак, давайте начнем с доказательства параллельности сторон AЕ и MC. Мы знаем, что ABCD - параллелограмм, поэтому стороны AB и CD параллельны. Это также означает, что BC и AD тоже параллельны. Теперь, когда мы отметили точки E и M на сторонах BC и AD соответственно так, что BE = DM, мы видим, что прямоугольники ABEC и DMCB имеют равные стороны BE и DM, а также стороны BC и AD, соответственно. Теперь у нас есть две пары противоположных сторон в четырехугольниках ABEC и DMCB, которые равны и параллельны, потому что BC и AD параллельны. Следовательно, AЕ || MC.

Теперь докажем, что стороны AE и CM равны. Мы уже знаем, что BE = DM. Теперь рассмотрим треугольники ABE и DCM. У них уже есть две равные стороны (BE и DM) и угол BAE равен углу CDM, так как AB || CD (параллелограмм ABCD). По теореме о равенстве треугольников (по стороне-угол-стороне), треугольники ABE и DCM равны. Это означает, что стороны AE и CM равны.

Таким образом, мы доказали, что стороны AE и CM параллельны и равны, что делает четырехугольник AECM параллелограммом.