Question

Внутри параллелограмма АВСD отметили точку М. Докажите,что сумма площадей треугольников АВМ и СDM равна сумме площадей треугольников ВСМ и ADM.

Answer 1

Sabm+Scdm=Sbcm+Sadm

так как трАМВ=трDMC, трВСМ=трАDМ(докажешь сама),

то  2Sabm=2Sbcm(двойки сокр)

Значит треугольники равны и перед нами квадрат, и сумма площадей  этих треуг равна

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, нам нужно воспользоваться свойствами параллелограмма. Важными свойствами параллелограмма являются:

1. Противоположные стороны параллельны.
2. Противоположные углы равны.

Давайте обозначим следующие площади: S1 - площадь треугольника АВМ. S2 - площадь треугольника СDM. S3 - площадь треугольника ВСМ. S4 - площадь треугольника ADM.

Так как стороны параллелограмма АВСD параллельны, то у нас есть следующие равенства углов:

∠АВС = ∠ADC (противоположные углы) ∠ABD = ∠ACD (противоположные углы)

Теперь рассмотрим треугольники АВМ и СDM. У них есть общая боковая сторона MD. Следовательно, они имеют равные высоты от точки М к сторонам AD и CD. Поэтому их площади S1 и S2 можно выразить как:

S1 = (1/2) * AM * MD S2 = (1/2) * CM * MD

Аналогично, рассмотрим треугольники ВСМ и ADM. У них также есть общая боковая сторона MD и равные высоты от точки М к сторонам AB и BC. Их площади S3 и S4 выражаются следующим образом:

S3 = (1/2) * BM * MD S4 = (1/2) * DM * MD

Теперь давайте сложим площади треугольников АВМ и СDM:

S1 + S2 = (1/2) * AM * MD + (1/2) * CM * MD = (1/2) * (AM + CM) * MD

А теперь сложим площади треугольников ВСМ и ADM:

S3 + S4 = (1/2) * BM * MD + (1/2) * DM * MD = (1/2) * (BM + DM) * MD

Так как стороны AB и CD параллельны, то AM + CM = BM + DM (это следует из того, что сумма углов АВС и ADC равна 180 градусов). Поэтому мы можем заключить, что:

S1 + S2 = S3 + S4

Таким образом, сумма площадей треугольников АВМ и СDM действительно равна сумме площадей треугольников ВСМ и ADM. Это доказывает утверждение.