Question

1)В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведены биссектрисы АА₁ и ВВ₁, пересекающиеся в точке I. Найдите угол AIB₁ 2)На высоте ВВ₁ треугольника АВС есть такая точка О, что АО=ОС. Расстояние от точки О до стороны АВ равно 1см. Найдите расстояние от точки О до стороны ВС ЭТО ДВЕ РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ. РЕШИТЕ ПОЖАЛУЙСТА С ПОЯСНЕНИЯМИ. 7 класс.

Answer 1

$1)$
2) Рассмотрим треугольник AOC - равнобедренный, т.к. AO=OB: в нём OB_1 является высотой (так как BB_1 - высота), значит, OB_1 - медиана, а значит, AB_1=B_1C
Рассмотрим треугольник ABC: BB_1 - высота (по условию задачи) и медиана (так как AB_1=B_1C по доказанному), значит ABC - равнобедренный треугольник, и BB_1 - биссектриса угла В.
Пусть расстояние от точки O до AB равно OM; OM = 1 по условию.
Пусть расстояние от точки O до BC равно ON.
Рассмотрим треугольники MOB и NOB -прямоугольные (<BMO=<BNO=90)
OB - общая сторона
<MBO=<NBO (т.к. BB_1 - биссектриса)
Значит, треугольники MOB и NOB равны по гипотенузе и острому углу, значит OM=ON=1
Ответ: 1

Answer 2

1. Найдем угол AIB₁ в прямоугольном треугольнике АВС.

Для начала обратим внимание на следующие факты:

• Биссектриса угла является линией, которая делит этот угол пополам.
• Точка пересечения биссектрис с противоположной стороной треугольника равноудалена от концов этой стороны.

Из этого следует, что точка I, где пересекаются биссектрисы АА₁ и ВВ₁, является центром окружности, описанной вокруг треугольника АВС. Так как это прямоугольный треугольник, то гипотенуза (сторона AB) является диаметром этой окружности, и угол в центре (угол AIB₁) равен удвоенному углу при основании (углу ACB).

Теперь рассмотрим угол ACB:

• В прямоугольном треугольнике ABC угол ACB равен 90 градусов (прямой угол).

Следовательно, угол AIB₁ равен удвоенному углу ACB: Угол AIB₁ = 2 * 90° = 180°

Ответ: Угол AIB₁ равен 180 градусов.

2. Теперь рассмотрим вторую задачу:

На высоте ВВ₁ треугольника АВС есть такая точка О, что АО=ОС и расстояние от точки О до стороны АВ равно 1 см. Найдите расстояние от точки О до стороны ВС.

Для решения этой задачи обратимся к свойствам подобных треугольников и использованию высоты.

Сначала заметим, что треугольник ABO и треугольник CBO подобны по двум углам, так как у них общий угол в точке B и общий угол при O, и оба треугольника прямоугольные (AB и CB - гипотенузы). Следовательно, отношение сторон этих треугольников равно отношению гипотенуз к катету.

Пусть h1 - высота треугольника ABO (расстояние от O до AB), h2 - высота треугольника CBO (расстояние от O до CB).

Тогда:

h1 / h2 = AB / CB

Мы знаем, что AB и CB - это гипотенузы соответствующих треугольников, а также AB = AC (так как AО = OC) и CB = BC (по определению).

Теперь у нас есть:

h1 / h2 = AC / BC

Известно, что AC - это высота треугольника АВС, проходящая через вершину B (гипотенузы AB и BC). Мы можем выразить h1 как:

h1 = h2 * (AC / BC)

Теперь подставим известные значения:

h1 = 1 см (расстояние от O до AB) AC - это высота треугольника АВС, которая равна h1 + h2 (сумма расстояний от O до AB и CB).

Таким образом, у нас есть:

h1 + h2 = AC = 1 см + h2

Теперь можем выразить h2:

h2 = 1 см

Так как h2 - это расстояние от точки O до стороны ВС, то расстояние от точки O до стороны ВС также равно 1 см.

Ответ: Расстояние от точки O до стороны ВС равно 1 см.