Question

Пусть O — центр вписанной окружности треугольника ABC, т.е. точка пересечения биссектрис треугольника ABC. На прямой BC отметим точки A1 и A2, на прямой AC — точки B1 и B2, а на прямой AB — точки C1 и C2 так, что OA1=OA2=OA,OB1=OB2=OB,OC1=OC2=OC. Известно, что AB=5, BC=7, CA=8. Найдите A1A2+B1B2+C1C2.

Answer 1

Пусть наша вписанная окружность касается сторон AB, BC, AC в точках  M, P, Q соответственно. Тогда треугольники AOM и A1OP равны по гипотенузе и катету. Значит A1A2=2A1P=2AM. Аналогично B1B2=2BP и С1С2=2CQ. Значит A1A2+B1B2+C1C2=2AM+2BP+2CQ=AB+BC+AC=5+7+8=20 (т.к. отрезки касательных равны).

Answer 2

Для начала определим радиус вписанной окружности треугольника ABC. Мы можем использовать формулу Герона, чтобы найти площадь треугольника и затем использовать формулу для радиуса вписанной окружности:

Полупериметр треугольника ABC: s = (AB + BC + CA) / 2 s = (5 + 7 + 8) / 2 s = 10

Площадь треугольника ABC по формуле Герона: S = √[s(s - AB)(s - BC)(s - CA)] S = √[10(10 - 5)(10 - 7)(10 - 8)] S = √[10 * 5 * 3 * 2] S = √[300] S = 10√3

Теперь найдем радиус вписанной окружности (r) с использованием формулы: r = S / s r = (10√3) / 10 r = √3

Таким образом, радиус вписанной окружности равен √3.

Теперь мы можем найти длины отрезков A1A2, B1B2 и C1C2, так как они равны радиусу вписанной окружности:

A1A2 = B1B2 = C1C2 = √3

Теперь можем сложить длины этих отрезков:

A1A2 + B1B2 + C1C2 = √3 + √3 + √3 = 3√3

Итак, A1A2 + B1B2 + C1C2 = 3√3.