Question

Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны и равны 5 см, 7 см, 10 см. Найди площадь полной поверхности и объем пирамиды.

Answer 1

В качестве основания берем прямоугольный треугольник со сторонами  
пусть CA=5 см и CB=10 см ,высота пирамиды  будет CD = 7 см , действительно , DC ⊥ CA ;DC ⊥ CB ⇒DC⊥ плоскости (ABC) .
V =1/3 *(5*10)/2 *7 =175/3 (см³) .   * * * 58 1/3 * * *

Sпол = S(ACD) + S(BCD) +S(ABC)+S(ADB) .
S(ACD) =AC*CD/2 =5*7/2 = 17,5 (см²)  ;
S(BCD) =BC*CD/2 =10*7/2= 35 (см²) ;
S(ABC) =AC*BC/2 = 5*10/2 =25 (см²) .
Площадь треугольника ADB можно вычислить по формуле Герона                 (известны AB =√125 ; AD=√74 ; BD =√149 )  , но арифметика скучная  ...
Поэтому  поступаем иначе ; из вершины прямого угля С треугольника ABC  проводим высоту  CH  ⊥  AB  и  H соединим  с вершиной  D.
AB ⊥ HC ⇒ AB ⊥ HD  (HC проекция HD) ,<CHD =α.)
S(ABC) =S(ADB)*cosα ⇒ S(ADB)= S(ABC)/cosα =25/cosα.
S(ABC) =AC*BC/2 = AB *СН/2 ⇒ СН =5*10/√125 =10/√5 =2√5 .
Из ΔHCD по теореме Пифагора  CD = √(CH²+CD²) =√((2√5)² +7²) =√69;
cosα =CH/CD =2√5/√69 ;
S(ADB)= 25/cosα =25√69/2√5 =2,5√345  (см²) . 
Таким образом окончательно
Sпол =(77,5  +2,5√345 ) см².

ответ :   ( 77,5 +2,5√345)  см²  ,  175/3 см³.
 

Answer 2

Для нахождения площади полной поверхности треугольной пирамиды сначала найдем площадь её боковых граней, а затем прибавим к ней площадь основания.

1. Площадь боковой грани пирамиды (S1) можно найти, используя формулу для площади треугольника:

S1 = (1/2) * a * h

где "a" - длина одного из боковых рёбер (в данном случае, 5 см), а "h" - высота этой боковой грани. Высоту "h" можно найти с помощью теоремы Пифагора, так как боковые рёбра взаимно перпендикулярны:

h = √(c^2 - a^2)

где "c" - длина гипотенузы боковой грани (в данном случае, 7 см).

h = √(7^2 - 5^2) h = √(49 - 25) h = √24 h = 2√6 см

Теперь мы можем найти площадь боковой грани:

S1 = (1/2) * 5 см * 2√6 см = 5√6 см²

2. Площадь основания (S2) зависит от формы основания треугольной пирамиды. Если основание - равнобедренный треугольник, то площадь можно найти по формуле:

S2 = (1/4) * b * h

где "b" - длина основания, "h" - высота основания. В данном случае, у нас нет информации о форме треугольной пирамиды или длине основания, поэтому допустим, что основание - равнобедренный треугольник со сторонами 5 см, 7 см и 10 см.

Для равнобедренного треугольника, высоту можно найти, используя теорему Пифагора:

h = √(c^2 - (a/2)^2)

где "c" - длина основания (10 см), "a" - длина одной из равных сторон (5 см).

h = √(10^2 - (5/2)^2) h = √(100 - 6.25) h = √93 см

Теперь мы можем найти площадь основания:

S2 = (1/4) * 10 см * √93 см = 2.5√93 см²

3. Теперь мы можем найти площадь полной поверхности (S_total) пирамиды, сложив площади боковых граней и площадь основания:

S_total = S1 + S2 S_total = 5√6 см² + 2.5√93 см²

После этого вы можете примерно вычислить численное значение для площади полной поверхности.

Чтобы найти объем пирамиды (V), нужно использовать следующую формулу:

V = (1/3) * S2 * h

где "S2" - площадь основания, а "h" - высота пирамиды от вершины до основания. Мы уже нашли "S2" и "h" ранее:

V = (1/3) * 2.5√93 см² * √6 см

После этого вы можете примерно вычислить численное значение для объема пирамиды.