Question

Докажите , что если в параллелограмме ABCD углы ABD и BAC равны , то этот параллелограмм-прямоугольник

Answer 1

Пусть M - точка пересечения прямых BD и AC.
<BAC = <DCA - как внутренние накрест лежащие при AB параллельной DC и секущей AC. Также <ABD = <CDB - как внутренние накрест лежащие при AB параллельной DC и секущей BD. Так как <BAC = <ABD, то <BDC = <ACD.
У треугольника CMD <ACD = <BDC. Значит, по признаку он равнобедренный.
Аналогично рассуждая, доказываем, что BMA - равнобедренный треугольник.
По свойству параллелограмма получаем, что AM = CM, BM = DM.
Собрав имеющиеся данные, получим AM = BM = DM = CM.
CA = AM+CM; DB = DM+BM. Но так как AM,BM,DM и CM равны, то получаем CA = DB. 
Рассмотрим параллелограмм ABCD. В нём диагонали CA и DB равны, значит, по признаку он является прямоугольником.
                                                                                        Ч.т.д.

Answer 2

Для доказательства того, что параллелограмм ABCD является прямоугольником, нам нужно показать, что угол между его сторонами AB и BC равен 90 градусов.

Дано:

1. Параллелограмм ABCD.
2. Угол ABD равен углу BAC.

Мы можем использовать свойства параллелограмма и геометрические факты, чтобы доказать, что ABCD - прямоугольник.

1. Из свойства параллелограмма следует, что противоположные стороны параллельны. То есть, AB || CD и BC || AD.

2. Также, у параллелограмма противоположные углы равны. Это означает, что угол ABD равен углу BCA (так как они лежат на параллельных сторонах AB и BC).

3. Поскольку угол ABD равен углу BCA, и также угол BAC равен углу BAC (по условию), то угол ABD равен углу BAC.

4. Теперь мы видим, что угол ABD и угол BCA равны и оба равны углу BAC.

Исходя из этого, мы знаем, что в треугольнике ABC угол BAC равен 180 градусов (углы треугольника всегда в сумме дают 180 градусов). Но так как угол BAC равен углу BAC, то это означает, что угол BAC равен 90 градусам.

Таким образом, мы доказали, что угол между сторонами AB и BC параллелограмма ABCD равен 90 градусам, что означает, что этот параллелограмм является прямоугольником.