Question

Из всех правильных шестиугольных призм с периметром боковой грани, равным 16 сам, найдите объём и площадь боковой поверхности той призмы, которая имеет наименьшую меньшую диагональ. Проблема в том, что как найти эту наименьшую меньшую диагональ. Если кто-то знает, то помогите пж! Дам сотку баллов)

Answer 1

Обозначим сторону основания призмы как а, высоту призмы - h.
Периметр боковой грани: P=2(a+h) ⇒ a+h=P/2=8 см. 
h=8-a.
На рисунке АС1 - меньшая диагональ призмы. АА1С1С - прямоугольник.
В треугольнике АВС ∠АВС=120°, как внутренний угол правильного шестиугольника.
По теореме косинусов АС²=АВ²+ВС²-2АВ·ВС·cos120=a²+a²-2·a·a·(-0.5)=3a².
В тр-ке АСС1 АС1²=d²=АС²+СС1²=3а²+(8-а)²=3а²+64-16а+а²=4а²-16а+64.
Нам нужна диагональ наименьшего размера. Предположим, что d=0, тогда d²=4a²-16a+64=0,
а²-4а+16=0,
Дискриминант D=b²-4ac=16-4·16=-48, квадратное уравнение не решается. Чтобы решить квадратное уравнение с минимальным значением для диагонали, нужно привести уравнение к виду, когда дискриминант D=0, подогнав значение "с" в квадратном уравнении.
У нас с=16, заменим на 4.
а²-4а+4=0,
D=16-4·4=0.
а₁,₂=4/2=2.
Сторона основания равна 2 см, высота h=8-a=6 cм.
Площадь основания: Sосн=6·(a²√3/4)=3a²√3/2=3·4√3/2=6√3 см².
Площадь боковой поверхности: Sбок=Рh=6ah=6·2·6=72 см².
Полная поверхность: Sп=Sбок+2Sосн=72+2·6√3=12(6+√3) см² - это ответ1.
Объём призмы: V=hSосн=6·6√3=36√3 см³ - это ответ2.

Answer 2

Для поиска призмы с наименьшей меньшей диагональю среди всех правильных шестиугольных призм с периметром боковой грани, равным 16, мы можем разделить эту задачу на несколько шагов:

1. Найдем формулу для объема и площади боковой поверхности правильной шестиугольной призмы.
2. Выразим меньшую диагональ призмы через ее параметры.
3. Найдем зависимость объема и площади боковой поверхности от меньшей диагонали.
4. Найдем минимальное значение меньшей диагонали, которое соответствует минимальному объему призмы.

Шаг 1: Для правильной шестиугольной призмы с периметром боковой грани, равным 16, каждая сторона шестиугольника будет равна 16 / 6 = 8. Площадь боковой поверхности такой призмы можно найти, умножив периметр боковой грани на высоту призмы (h):

Площадь боковой поверхности (S) = периметр боковой грани (P) * высота (h) = 16 * h.

Объем призмы можно найти, умножив площадь основания (шестиугольника) на высоту:

Объем (V) = площадь основания * высота = S_основания * h.

Шаг 2: Чтобы выразить меньшую диагональ призмы (d) через ее параметры, нам нужно знать конкретную конструкцию призмы. Поэтому вам нужно предоставить информацию о форме или углах призмы.

Шаг 3: Поскольку у нас нет конкретных данных о призме, мы не можем выразить объем и площадь боковой поверхности через меньшую диагональ.

Шаг 4: Чтобы найти минимальное значение меньшей диагонали, вам необходимо предоставить более конкретные характеристики призмы, такие как углы и отношения сторон. Без этих данных невозможно определить призму с наименьшей меньшей диагональю.