Question

Найти проекцию точки A(-2;-3;0) на плоскость x+5y+4=0

Answer 1

Нормаль к плоскости имеет координаты N(1;5;0)

Потребуем, чтобы точка A+tN лежала в плоскости.

x = -2+t
y = -3+5t
z = 0

и x+5y+4 = 0
или через t

-2+t-15+25t+4 = 0
26t = 13
t = 0.5

A+tN = (-2;-3;0)+0.5(1;5;0) = (-1.5 ; -0;5 ; 0) Это ответ

 

Answer 2

Для того чтобы найти проекцию точки A(-2, -3, 0) на плоскость x + 5y + 4 = 0, нужно найти точку на этой плоскости, которая находится на кратчайшем расстоянии от точки A. Эта точка будет являться проекцией точки A на данную плоскость.

Для начала, выразим уравнение плоскости в виде нормальной формы: Ax + By + Cz + D = 0. В данном случае, у нас есть уравнение x + 5y + 4 = 0, так что A = 1, B = 5, C = 0, D = 4.

Нормальный вектор плоскости будет задан коэффициентами (A, B, C), то есть (1, 5, 0).

Теперь мы можем использовать следующую формулу для вычисления проекции точки на плоскость:

$$\text{Проекция точки P на плоскость} = P - \frac{\vec{PN} \cdot \vec{N}}{\|N\|^2} \cdot \vec{N},$$

где P - координаты точки A(-2, -3, 0), N - нормальный вектор плоскости (1, 5, 0), а PN - вектор, направленный от точки P к какой-либо точке на плоскости.

Вычислим вектор PN: $\vec{PN} = (x_P - x_N, y_P - y_N, z_P - z_N)$, где (x_N, y_N, z_N) - координаты какой-либо точки на плоскости.

Подставляем значения:

$$\vec{PN} = (-2 - x_N, -3 - y_N, 0 - z_N).$$

Теперь, подставляя все значения в формулу проекции, получим:

$$\text{Проекция точки A} = (-2, -3, 0) - \frac{(-2 - x_N) \cdot 1 + (-3 - y_N) \cdot 5 + (0 - z_N) \cdot 0}{1^2 + 5^2 + 0^2} \cdot (1, 5, 0).$$

Мы не знаем координат точки на плоскости (x_N, y_N, z_N), поэтому не можем найти точную проекцию. Однако, данный метод позволяет вычислить проекцию точки на заданную плоскость, когда известны координаты какой-либо точки на этой плоскости.