Question

Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит катеты на отрезки 3см и 5см. Найдите гипотенузу треугольника. Помогите пожалуйста даю 15б.

Answer 1

Ответ: 10 см

Объяснение:

  Биссектриса угла треугольника делит противоположную этому углу сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих ему сторон.

   Пусть в ∆ АВС угол С=90°, АК - биссектриса.

Тогда  АС:АВ=СК:ВК=3:5

По т.Пифагора АВ²-АС²=ВС²

Примем коэффициент отношения сторон, содержащих данный угол, равным а.

Тогда 25а²-9а²=64 ⇒

а²=4

а=√4=2

Гипотенуза АВ=2•5=10 (см)

Answer 2

Давайте обозначим гипотенузу треугольника как $c$, а катеты как $a$ и $b$. Так как биссектриса острого угла делит каждый катет на два отрезка, и нам дано, что один отрезок равен 3 см, а другой 5 см, мы можем записать следующее:

$a_1 = 3$ см, $a_2 = 5$ см, $b_1 = 3$ см, $b_2 = 5$ см.

Зная это, мы можем применить теорему о биссектрисе:

$\frac{a}{a_1} = \frac{c}{c_1}$ и $\frac{b}{b_1} = \frac{c}{c_2}$,

где $c_1$ и $c_2$ - отрезки гипотенузы, полученные биссектрисой.

Подставив известные значения, получим:

$\frac{a}{3} = \frac{c}{c_1}$ и $\frac{b}{3} = \frac{c}{c_2}$.

Мы также знаем, что $a_1 + a_2 = a$ и $b_1 + b_2 = b$, то есть $a = 3 + 5 = 8$ см и $b = 3 + 5 = 8$ см.

Теперь мы можем записать:

$\frac{8}{3} = \frac{c}{c_1}$ и $\frac{8}{3} = \frac{c}{c_2}$.

Так как $c_1 + c_2 = c$, мы можем сложить оба уравнения:

$\frac{8}{3} + \frac{8}{3} = \frac{c}{c_1} + \frac{c}{c_2}$.

$\frac{16}{3} = c \left( \frac{1}{c_1} + \frac{1}{c_2} \right)$.

Так как биссектриса делит гипотенузу на два отрезка, пропорциональных катетам, то $\frac{1}{c_1} = \frac{1}{c_2}$.

Следовательно,

$\frac{16}{3} = 2c \cdot \frac{1}{c_1}$.

Отсюда,

$c \cdot \frac{2}{3} = \frac{16}{3}$.

$c = \frac{16}{2} = 8$.

Таким образом, гипотенуза $c$ равна 8 см.