Question

В прямоугольную трапецию вписан круг радиусом 4см. Одна из оснований трапеции больше на 6см чем другая. Найти площадь прямоугольной трапеции

Answer 1

A=4 b=10 h=4
(4+10)÷2×4=28 S=28см2

Answer 2

Для решения этой задачи, обозначим следующие величины:

Пусть $a$ - длина меньшего основания трапеции (в см). Тогда $a + 6$ - длина большего основания трапеции (в см).

Также у нас есть информация, что в трапецию вписан круг радиусом 4 см. Вписанный круг делит трапецию на два прямоугольника и прямоугольный треугольник. Рассмотрим прямоугольник с длиной $a + 6$ и шириной 4 см (это сторона круга), а также прямоугольник с длиной $a$ и шириной 4 см.

Площадь первого прямоугольника: $S_1 = (a + 6) \times 4$ кв.см Площадь второго прямоугольника: $S_2 = a \times 4$ кв.см

Также, радиус круга вписанного в трапецию равен 4 см, поэтому диагональ этого прямоугольника равна диаметру круга, то есть $2 \times 4 = 8$ см.

Теперь, рассмотрим прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен $a$ (длина меньшего основания трапеции), а другой катет равен $a + 6$ (длина большего основания трапеции). Гипотенуза треугольника равна диаметру круга, то есть 8 см. По теореме Пифагора:

$(a)^2 + (a + 6)^2 = 8^2$ $a^2 + (a^2 + 12a + 36) = 64$ $2a^2 + 12a + 36 = 64$ $2a^2 + 12a - 28 = 0$

Теперь найдем значение $a$ с помощью квадратного уравнения:

$a = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4 \times 2 \times (-28)}}{2 \times 2}$ $a = \frac{-12 \pm \sqrt{144 + 224}}{4}$ $a = \frac{-12 \pm \sqrt{368}}{4}$ $a = \frac{-12 \pm 4\sqrt{23}}{4}$ $a = -3 \pm \sqrt{23}$

Поскольку $a$ не может быть отрицательным, то выберем положительное значение для $a$:

$a = -3 + \sqrt{23} \approx 1.8$ см (длина меньшего основания).

Теперь, чтобы найти площадь трапеции, сложим площади двух прямоугольников и прямоугольного треугольника:

$S_{\text{трапеции}} = S_1 + S_2 = (a + 6) \times 4 + a \times 4 = 4(a + 6 + a) = 4(2a + 6) = 8a + 24$

Подставим значение $a$:

$S_{\text{трапеции}} = 8 \times (1.8) + 24 \approx 14.4 + 24 = 38.4$ кв.см

Ответ: площадь прямоугольной трапеции составляет примерно 38.4 квадратных сантиметра.