Question

Вариант 1 1. A и B – произвольные точки плоскости α. Прямая MN перпендикулярна плоскости α. Докажите, что MN перпендикулярна AB. 2. Треугольник MNP – правильный, точка C – его центр. Прямая CH перпендикулярна к плоскости MNP. а) Докажите, что HM = HN = HP. б) Найдите HM, если MN = 3, CH = 1.

Answer 1

Ответ: 2. б)   2

Объяснение:

1. Так как точки А и В лежат в плоскости α, то и все точки прямой АВ лежат в этой плоскости (аксиома 2).

Если прямая перпендикулярна плоскости,  то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости.

MN ⊥ α,  AB ⊂ α,  ⇒ MN ⊥ AB.

2.

а) Центр правильного треугольника является центром вписанной и описанной окружностей.

MC = NC = PC как радиусы окружности, описанной около треугольника MNP,

НС ⊥ (MNP), ⇒  ∠HCM = ∠HCN = ∠HCP = 90°,

НС - общий катет для треугольников HCM, HCN и НСР, значит,

ΔHCM = ΔHCN = ΔНСР по двум катетам. Следовательно

HM = HN = HP.

б) Треугольник правильный, поэтому радиус описанной окружности:

MC = MN√3 / 3 = 3√3 / 3 = √3

ΔHCM: ∠HCM = 90°, по теореме Пифагора

            НМ = √(МС² + НС²) = √(3 + 1) = √4 = 2

Answer 2

Для доказательства обоих утверждений мы воспользуемся свойствами векторов и геометрией.

Утверждение 1:

Для начала, давайте рассмотрим произвольные точки A и B в плоскости α. Обозначим вектор AB как v.

Поскольку прямая MN перпендикулярна плоскости α, она лежит в перпендикулярном направлении к этой плоскости. Это означает, что вектор, направленный вдоль прямой MN, перпендикулярен плоскости α. Обозначим этот вектор как n.

Теперь нам нужно доказать, что вектор v перпендикулярен вектору n. Для этого достаточно показать, что их скалярное произведение равно нулю:

v * n = 0

Если это выполнено, то вектор v будет перпендикулярен плоскости α, что и требуется доказать.

Утверждение 2:

а) Для доказательства HM = HN = HP, нам нужно показать, что треугольник MHN – равносторонний. Обозначим вектор MN как m.

Поскольку точка C – центр треугольника MNP, векторы CM, CN и CP будут равными и направленными вдоль сторон треугольника. Таким образом, векторы CH и CM также будут равными.

Итак, у нас есть:

CH = CM

Теперь рассмотрим треугольник CHN. Угол CHN является прямым, так как прямая CH перпендикулярна плоскости MNP.

Следовательно, треугольник CHN – это прямоугольный треугольник с гипотенузой CH и катетами CM и HN.

У нас уже есть CH = CM, и поскольку треугольник CHN – прямоугольный, то HN тоже равно CH (катету прямоугольного треугольника соответствует его гипотенуза).

Итак, мы доказали, что HM = HN = HP.

б) Найдем HM, если MN = 3 и CH = 1.

Мы знаем, что HN = HM = HP (из пункта а).

Таким образом, HM = 1.