Question

В параллелограмме ABCD точка E середина стороны AB. Известно, что EC=ED. Докажите что данный параллелограмм прямоугольник

Answer 1

Доказательство:

Смотри прикреплённый рисунок.

ΔВСЕ = ΔADE по 3-му признаку равенства треугольников (ЕС = ED по условию, ВЕ = АЕ тоже по условию,  ВС = AD -как противоположные стороны параллелограмма)

Против равных сторон в равных треугольниках лежат и равные углы.

Поэтому  ∠А = ∠В.

По свойству углов параллелограмма сумма углов. прилегающих к одной стороне параллелограмма в сумме составляют 180°.

Поэтому  ∠А = ∠В = 90°.

Если два угла параллелограмма равны по 90°, то этот параллелограмм является прямоугольником, что и следовало доказать.

Answer 2

Для того чтобы доказать, что параллелограмм ABCD является прямоугольником, нам нужно показать, что углы этого параллелограмма прямые углы.

Из условия, что точка E является серединой стороны AB, мы знаем, что AE = EB. Также нам дано, что EC = ED.

Рассмотрим треугольник EDC. У него две равные стороны: EC = ED. Это означает, что угол EDC равен углу ECD, потому что при равных сторонах противолежащие углы равны.

Теперь рассмотрим треугольник EBC. У него также две равные стороны: EB = EC. Из этого следует, что угол EBC равен углу ECB.

Теперь вернемся к параллелограмму ABCD. В нем угол BCD является смежным с углом ECD, и угол BAC является смежным с углом ECB. Таким образом, углы BCD и BAC равны углам ECD и ECB соответственно.

Так как угол BCD равен углу ECD, а угол BAC равен углу ECB, и эти углы в сумме дают прямой угол (180 градусов), то угол BCD и угол BAC также прямые углы.

Таким образом, мы доказали, что углы параллелограмма ABCD являются прямыми углами, и, следовательно, данный параллелограмм является прямоугольником.