Question

Прямоугольный треугольник, катеты которого равны 15 см и 20 см, вращается вокруг гипотенузы. Найти объём и площадь поверхности тела вращения.

Answer 1

Решение в приложении.

Answer 2

Чтобы найти объем и площадь поверхности тела вращения, образованного вращением прямоугольного треугольника вокруг его гипотенузы, нужно использовать формулы для тел вращения.

Для начала определим, какую фигуру получим в результате вращения. При вращении прямоугольного треугольника вокруг его гипотенузы получится усеченный конус. Основами этого конуса будут два круга радиусами, равными катетам треугольника (15 см и 20 см), а высотой конуса будет гипотенуза треугольника.

1. Найдем гипотенузу треугольника:

Гипотенуза = √(катет1^2 + катет2^2) Гипотенуза = √(15^2 + 20^2) Гипотенуза = √(225 + 400) Гипотенуза = √625 Гипотенуза = 25 см

2. Найдем объем усеченного конуса:

Объем конуса = (1/3) * π * (радиус1^2 + радиус2^2 + радиус1 * радиус2) * высота Объем конуса = (1/3) * π * (15^2 + 20^2 + 15 * 20) * 25 Объем конуса = (1/3) * π * (225 + 400 + 300) * 25 Объем конуса = (1/3) * π * 925 * 25 Объем конуса ≈ 24,293 см³ (округлим до тысячных)

3. Найдем площадь поверхности усеченного конуса:

Площадь поверхности конуса = π * (радиус1 + радиус2) * s где s - длина образующей конуса, которую можно найти по теореме Пифагора: s = √(высота^2 + (радиус1 - радиус2)^2)

Площадь поверхности конуса = π * (15 + 20) * √(25^2 + (15 - 20)^2) Площадь поверхности конуса = π * 35 * √(625 + 25) Площадь поверхности конуса = π * 35 * √650 Площадь поверхности конуса ≈ 1180,21 см² (округлим до сотых)

Таким образом, объем тела вращения составляет около 24,293 см³, а площадь поверхности этого тела - около 1180,21 см².