Question

Точка Q - центр окружности, касающейся стороны BC и продолжении сторон AB и AC треугольника ABC, точка O - центр окружности w, описанной около треугольника BQC. а) Докажите, что точка O лежит на окружности, описанной около треугольника ABC б) Найдите косинус угла BAC, если радиус окружности w, относится к радиусу окружности, описанной около треугольника ABC, как 4:3

Answer 1

А). Цитата: "Существование и единственность вневписанной
окружности обусловлены тем, что биссектрисы двух внешних углов
треугольника и биссектриса внутреннего угла, не смежного с этими
двумя, пересекаются в одной точке, которая и является центром
такой окружности".
В треугольнике АВС <ABC+<BCA=180°-<A.
<ABC=180°-<CBP,  <BCA=180°-BCK - как пары соответственно смежных
углов.
Окружность (Q;R) - вневписанная окружность треугольника АВС по
определению (из условия). Следовательно, BQ и СQ - биссектрисы углов <CBP и <BCK соответственно.
Тогда <BQC=180°-(1/2)*(CBP+BCK)=180°-(1/2)*(360°-<ABC-<BCA). Или
<BQC=(1/2)*(<ABC+<BCA).
Но <BQC - вписанный угол, опирающийся на дугу ВС, а
<BOC- центральный угол, опирающийся на ту же дугу.
<BOC=2*<BQC = <ABC+<BCA = 180°-<A.
Тогда в четырехугольнике АВОС сумма противоположных углов
<А+<BOC=<A+180°-<A = 180°. Значит около этого четырехугольника
можно описать окружность и при том только одну.
Следовательно, окружности, описанные около треугольника АВС и
четырехугольника АВОС - одна и та же окружность и точка О лежит
на этой окружности, что и требовалось доказать.

б). Пусть R/r=4/3.  r=(3/4)*R.
<А+<BOC= 180° (доказано выше).
CosA = -Cos(180-A) = -Cos(BOC).
ВС - общая хорда пересекающихся окружностей.
По теореме косинусов из треугольника ОВС:
BC²=2R² - 2R²Cos(BOC)=2R²+ 2R²CosA=2R²(1+CosA) . (1)
Bз треугольника AВС:
<BJC - центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и <BAC.
<BJC=2<A.
BC²=2r² - 2r²Cos(BJC)=2r²(1-Cos2A) . (2)
Приравняем (1) и (2):
2R²(1+CosA)=2r²(1-Cos2A)  или
2R²(1+CosA)=2(9/16)R²(1-Cos2A)  или
(1+CosA)=(9/16)(1-Cos2A).
По формуле приведения Cos2A= 2Cos²A-1, тогда
1+CosA=(9/16)(1-2Cos²A+1) => 1+CosA=(9/8)(1-Cos²A).
Пусть CosA= Х, тогда:
8+8Х=9-9Х²  или
9Х²+8Х-1=0
Х1=(-4+√(16+9))/9 = 1/9.
Х2=-1 - не удовлетворяет условию, так как <A > 0.
Ответ: CosA=1/9.

Answer 2

Чтобы доказать, что точка O лежит на окружности, описанной около треугольника ABC, рассмотрим следующее:

а) Докажем, что угол BOC равен 2 * угол BAC.

1. Допустим, что угол BAC равен α.
2. Так как точка Q является центром окружности, описанной вокруг треугольника BQC, угол BQC равен 2 * α (угол, стоящий на дуге BC окружности).
3. Отметим, что угол BOC равен углу BQC (углы, стоящие на одной и той же дуге BC окружности равны), то есть угол BOC также равен 2 * α.
4. Таким образом, угол BOC равен 2 * угол BAC.

б) Теперь найдем косинус угла BAC:

Пусть R_1 - радиус окружности, описанной около треугольника ABC. Пусть R_2 - радиус окружности w, описанной около треугольника BQC.

По условию, R_2 / R_1 = 4 / 3.

Так как треугольник BOC - равнобедренный (BO = CO, так как радиусы окружностей w и окружности, описанной вокруг ABC, одинаковые), то косинус угла BOC равен:

cos(BOC) = cos(2 * угол BAC) = 2 * cos^2(угол BAC) - 1.

Также, по теореме косинусов для треугольника BOC:

cos(BOC) = (BC^2 + CO^2 - BO^2) / (2 * BC * CO).

Но BO = CO, поэтому это упрощается:

cos(BOC) = (BC^2 + BO^2 - BO^2) / (2 * BC * BO) = BC / (2 * BO).

Теперь, так как угол BOC равен 2 * угол BAC, мы можем выразить BC через R_1 и BO через R_2:

BC = 2 * R_1 * sin(угол BAC), BO = 2 * R_2 * sin(угол BAC).

Таким образом, косинус угла BAC:

cos(угол BAC) = BC / (2 * BO) = (2 * R_1 * sin(угол BAC)) / (2 * 2 * R_2 * sin(угол BAC)) = R_1 / (2 * R_2).

Теперь используем данное соотношение R_2 / R_1 = 4 / 3:

cos(угол BAC) = R_1 / (2 * R_2) = R_1 / (2 * (4/3) * R_1) = 3 / 8.

Таким образом, косинус угла BAC равен 3 / 8.