Question

На сторонах правильного 8-угольника A1A2…A8 вне его построены квадраты. Докажите, что многоугольник, образованный вершинами этих квадратов, отличных от A1, A2, A3 .., A8 не является правильным.

Answer 1

В правильном восьмиугольнике каждый угол равен 135 гр, если рассмотреть образовавшийся треугольник между двумя сторонами квадрата исходящей от одной вершины  восьмиугольника , то получаем что угол между этими прямыми равен 360-(90+90)-135=45, значит сторон лежащая напротив этого угла не равна стороне квадрата, значит мы не получим правильный многоугольник. 

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, рассмотрим многоугольник, образованный вершинами квадратов, построенных на сторонах правильного 8-угольника.

Допустим, вершины правильного 8-угольника обозначены как A1, A2, ..., A8, и на его сторонах построены квадраты, образующие многоугольник с вершинами B1, B2, ..., B16. Теперь предположим, что многоугольник B1B2...B16 является правильным.

Для того чтобы многоугольник был правильным, все его стороны должны быть равными, и все его углы должны быть равными. Воспользуемся этим для доказательства противоречия.

Рассмотрим сначала угол B1B2B3. Этот угол образуется пересечением двух квадратов: A1A2A3A4 и A4A5B1B2. Уголы квадрата A1A2A3A4 равны 90 градусам, поскольку квадраты являются прямоугольниками, а каждый угол прямоугольника равен 90 градусам. Поэтому угол B1B2B3 также равен 90 градусам.

Теперь рассмотрим угол B2B3B4. Этот угол образуется пересечением двух квадратов: A1A2A3A4 и A3A4A5A6. Углы квадрата A3A4A5A6 также равны 90 градусам. Поэтому угол B2B3B4 тоже равен 90 градусам.

Продолжая аналогичные рассуждения для всех остальных углов многоугольника B1B2...B16, мы получим, что все углы этого многоугольника равны 90 градусам.

Теперь рассмотрим длины его сторон. Для этого обратим внимание на стороны B1B2 и B2B3. Они образованы пересечением квадратов A1A2A3A4 и A4A5B1B2, а также квадратов A3A4A5A6 и A6A7B2B3 соответственно. Так как квадраты имеют равные стороны, то стороны B1B2 и B2B3 тоже равны.

Продолжая аналогичные рассуждения для всех остальных сторон многоугольника B1B2...B16, мы получим, что все его стороны равны.

Таким образом, мы доказали, что у многоугольника B1B2...B16 все углы равны 90 градусам, а все стороны равны. Однако, это означает, что данный многоугольник является квадратом, а это противоречит исходному условию о том, что он содержит вершины, отличные от A1, A2, ..., A8.

Таким образом, мы пришли к противоречию, и многоугольник B1B2...B16 не может быть правильным.