Question

Это очень срочно! Дан правильный 180-угольник A1A2…A180. На его соседних сторонах A180A1 и A1A2 выбраны точки X и Y, соответственно. Оказалось, что A180X=A1Y=4 и XA1=YA2=3. Найдите сумму углов, под которыми виден отрезок XY из всех вершин данного 180-угольника, за исключением вершины A1, т.е. сумму ∠XA2Y+∠XA3Y+…+∠XA180Y.

Answer 1

 Решим такую задачу только для четырехугольника квадрата, то есть у него четное число сторон  
Примем за все тоже самое , только за место $A_{180}=A_{4}$ ,
то есть надо найти углы 
  $xA_{4}y+xA_{3}y+xA_{2}y$ 
Находим углы
$xy=5\\ 65+16-2*4*\sqrt{65}*xA_{4}y=25\\ xA_{4}y=arccos(\frac{7}{\sqrt{65}})$
$A_{3}x=\sqrt{65}\\ yA_{3}=\sqrt{58}\\ 65+58-2\sqrt{65*58}*y=25\\ xA_{3}y=arccos(\frac{49}{\sqrt{3770}})$
$9+58-2*3*\sqrt{58}*xA_{2}y=25 \\ xA_{2}y=arccos(\frac{7}{\sqrt{58}} )$

 то есть угол равен $(arccos(\frac{7}{\sqrt{58}})+arccos(\frac{49}{\sqrt{3770}})+arccos(\frac{7}{\sqrt{65}}))*\frac{180}{\pi}=90а$ 

а для нашего случая все тоже самое только ответ равен    одному углу в $180$ - угольнике  , то есть $180*(180-2)*\frac{1}{180}=178а$
 

Answer 2

Для решения данной задачи обратим внимание на то, что углы между сторонами правильного 180-угольника равны. Поскольку угол в правильном n-угольнике равен \( \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} \), угол в 180-угольнике будет равен:

\[ \frac{(180-2) \cdot 180^\circ}{180} = 178^\circ \]

Теперь обратим внимание на отрезок XY и представим его в виде набора отрезков \( XA_1, A_1A_2, A_2A_3, \ldots, A_{179}A_{180}, A_{180}Y \).

Мы знаем, что \( XA_1 = YA_2 = 3 \) и \( A_{180}X = A_1Y = 4 \). Также мы знаем, что углы между соседними сторонами 180-угольника равны 178 градусам, поэтому угол \( \angle XA_1Y \) равен 178 градусам.

Теперь рассмотрим треугольник \( XA_1Y \). Известно, что \( XA_1 = YA_2 = 3 \), \( A_1Y = A_{180}X = 4 \), и угол \( \angle XA_1Y \) равен 178 градусам.

Мы можем использовать закон косинусов, чтобы найти сторону \( XY \):

\[ XY^2 = XA_1^2 + A_1Y^2 - 2 \cdot XA_1 \cdot A_1Y \cdot \cos(\angle XA_1Y) \]

Подставим известные значения:

\[ XY^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos(178^\circ) \]

Теперь мы можем найти длину стороны \( XY \).

\[ XY^2 = 9 + 16 + 24 \cdot \cos(178^\circ) \]

\[ XY^2 = 25 - 24 \cdot \cos(178^\circ) \]

\[ XY^2 = 25 + 24 \cdot \cos(2^\circ) \]

\[ XY \approx \sqrt{25 + 24 \cdot \cos(2^\circ)} \]

Теперь, чтобы найти угол \( \angle XA_2Y \), можем воспользоваться законом косинусов для треугольника \( XA_1Y \):

\[ \cos(\angle XA_2Y) = \frac{XA_1^2 + A_1Y^2 - XY^2}{2 \cdot XA_1 \cdot A_1Y} \]

Подставим известные значения:

\[ \cos(\angle XA_2Y) = \frac{3^2 + 4^2 - (25 + 24 \cdot \cos(2^\circ))}{2 \cdot 3 \cdot 4} \]

\[ \cos(\angle XA_2Y) = \frac{9 + 16 - 25 - 24 \cdot \cos(2^\circ)}{24} \]

\[ \cos(\angle XA_2Y) = \frac{0 - 24 \cdot \cos(2^\circ)}{24} \]

\[ \cos(\angle XA_2Y) = -\cos(2^\circ) \]

Теперь можем найти угол \( \angle XA_2Y \):

\[ \angle XA_2Y = \arccos(-\cos(2^\circ)) \]

\[ \angle XA_2Y \approx 2^\circ \]

Таким образом, угол \( \angle XA_2Y \) равен примерно 2 градусам. Так как углы между сторонами правильного 180-угольника равны, сумма углов, под которыми виден отрезок XY, из всех вершин данного 180-угольника, за исключением вершины \( A_1 \), равна \( 2^\circ \times 178 = 356^\circ \).