Question

На медиане AM треугольника ABC обозначили точки K и L так что AK =2LM, угол ALC = 90 градусов докажите что угол BKM = углу CAM

Answer 1

Сделаем дополнительные построения.
Проведем прямую ВР параллельно медиане АМ до пересечения с продолжением прямой AL в точке Р.
В треугольнике СВР отрезок МL - средняя линия и тогда отрезок
ВР =2ML, а CL=LP.
Фигура КАРВ - параллелограмм, тпк как ВР║АК и ВР=АК=2ML.
Тогда <KAP=<PBK как противоположные углы параллелограмма, а
<LAP=<CAL так как треугольник САР равнобедренный и отрезок AL  в нем - высота и биссектриса. Таким образом,
<BKM=<CAM, что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства того, что угол BKM равен углу CAM, воспользуемся сходством треугольников. Для начала обратим внимание на данные условия и обозначения:

1. AK = 2LM - это означает, что отношение длин сторон треугольников AMK и AML равно 1:2.

2. Угол ALC = 90° - это говорит о том, что треугольник ALC прямоугольный с прямым углом в точке L.

Теперь, докажем, что угол BKM равен углу CAM:

Рассмотрим треугольники ALC и BKM:

1. AM - общая сторона обоих треугольников.

2. Угол ALM равен углу BMK - это следует из условия AK = 2LM, что означает, что треугольники AMK и AML подобны, и углы при равных сторонах равны.

3. Угол ALC = 90° - дано условие.

4. Угол BKM - это угол между сторонами BM и MK.

Теперь, так как треугольник ALC прямоугольный, и угол ALM равен углу BMK, то треугольники ALC и BKM подобны (по двум углам).

Таким образом, угол BKM равен углу CAM, так как они являются соответственными углами в подобных треугольниках.