Question

В прямоугольном треугольнике ABC угол B 90 градусов, угол C 30 градусов,BC 18 см.Найдите длины отрезков ,на которые биссектриса AD делит катет BC.

Answer 1

Ответ: 12 см; 6 см.
Решение на фото, извиняюсь за почерк.

Answer 2

Пусть катет ВА=а;он противолежит углу 30 градусов.➡ гипоткнуза Са=2а Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону в отношении сторон,содержащих этот угол:
СD:BD=2a:a
BC=3a
a=18:3=6
CD=12cм
ВD=6 см.

Answer 3

Для решения задачи воспользуемся теоремой биссектрисы в прямоугольном треугольнике.

Теорема биссектрисы гласит, что биссектриса угла прямоугольного треугольника делит противолежащий катет на два отрезка, пропорциональных прилежащим катетам.

Обозначим длину катета AB как a и длину отрезков, на которые биссектриса AD делит катет BC, как x и y.

Таким образом, нам нужно найти x и y.

Из теоремы биссектрисы следует, что:

x/a = AD/BD y/a = AD/DC

Также из условия задачи известно:

BC = 18 см (катет BC) Угол B = 90 градусов (прямой угол) Угол C = 30 градусов

Так как угол B = 90 градусов, то теорема синусов для треугольника ABC даст нам:

sin(C) = AD/BC sin(30°) = AD/18 1/2 = AD/18 AD = 18/2 AD = 9 см

Теперь мы можем выразить отношения x/a и y/a:

x/a = 9/BD y/a = 9/DC

Также у нас есть тригонометрические соотношения для синусов углов:

sin(30°) = 1/2 sin(60°) = √3/2

Так как угол C = 30 градусов, то угол D = 60 градусов.

Теперь нам нужно найти BD и DC.

Из прямоугольного треугольника BCD, где угол C = 30 градусов, получаем:

BD = BC * sin(30°) = 18 * 1/2 = 9 см

Из прямоугольного треугольника ACD, где угол C = 30 градусов, получаем:

DC = AC * sin(60°) = AB * sin(60°) = a * √3/2

Теперь, используя теорему биссектрисы, можем выразить x и y:

x/a = 9/BD = 9/9 = 1 y/a = 9/DC = 9 / (a * √3/2) = 6/√3

Теперь осталось выразить длину катета a через x и y:

x + y = a 1 + 6/√3 = a

Для удобства, можем рационализировать знаменатель:

a = (√3 + 6) / √3

Таким образом, длина катета AB (a) равна (√3 + 6) / √3 см, длина отрезка x равна 1/3 от длины катета AB, а длина отрезка y равна 2√3/3 от длины катета AB.