Question

Стороны четырехугольника равны 20см, 8см, 16см, 12см. Наибольшая сторона подобного ему четырехугольника равна 10см. Вычислите длины остальных его сторон. Во сколько раз площадь второго четырехугольника меньше площади первого?

Answer 1

Длины сторон нового четырехугольника в 2 раза меньше сторон даного четырехугольника: 20/10=2.
Стороны искомого будут: 10 см, 4 см, 8 см, 6 см.
Площадь меньше в 4 раза.

Answer 2

Для вычисления длин остальных сторон подобного четырехугольника можно воспользоваться пропорциональностью сторон. Если стороны одного четырехугольника пропорциональны сторонам другого, то можно записать отношение длин сторон и вычислить остальные значения.

Пусть стороны первого четырехугольника равны a, b, c и d, а стороны второго четырехугольника равны x, y, z и 10 (так как наибольшая сторона второго четырехугольника равна 10см).

Тогда пропорциональности можно записать следующим образом:

x/a = 10/20, y/b = 10/8, z/c = 10/16, 10/d = 10/12.

Теперь вычислим значения x, y и z:

x = (10/20) * a = 0.5 * a, y = (10/8) * b = 1.25 * b, z = (10/16) * c = 0.625 * c.

Теперь мы знаем значения x, y и z через a, b и c. Осталось определить эти значения.

Известно, что сумма всех углов в четырехугольнике равна 360 градусов. Мы можем использовать теорему косинусов для вычисления углов четырехугольника по длинам его сторон. Зная углы, можно использовать их для определения сторон.

Для нахождения a: cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2 * b * c), где A - угол, противолежащий стороне a.

Аналогично для b, c и d.

Давайте вычислим значения углов A, B, C и D, а затем и значения a, b, c и d.

Для первого четырехугольника: Угол A: cos(A) = (8^2 + 16^2 - 20^2) / (2 * 8 * 16) = 0.6875 A ≈ acos(0.6875) ≈ 46.31°

Угол B: cos(B) = (20^2 + 16^2 - 12^2) / (2 * 20 * 16) = 0.875 B ≈ acos(0.875) ≈ 29.74°

Угол C: cos(C) = (20^2 + 12^2 - 8^2) / (2 * 20 * 12) = 0.75 C ≈ acos(0.75) ≈ 41.41°

Угол D: Угол D = 360° - A - B - C ≈ 360° - 46.31° - 29.74° - 41.41° ≈ 242.54°

Теперь вычислим стороны a, b, c и d:

a = (b * sin(C)) / sin(B) = (8 * sin(41.41°)) / sin(29.74°) ≈ 10.06см, d = (b * sin(A)) / sin(B) = (8 * sin(46.31°)) / sin(29.74°) ≈ 12.26см, c = (a * sin(B)) / sin(A) = (10.06 * sin(29.74°)) / sin(46.31°) ≈ 6.48см.

Таким образом, стороны второго четырехугольника равны приближенно: 0.5 * a ≈ 5.03см, 1.25 * b ≈ 10см, 0.625 * c ≈ 4.05см и 10см.

Теперь давайте вычислим площади обоих четырехугольников и найдем их отношение.

Площадь первого четырехугольника (S1): S1 = (1/2) * b * c * sin(A) = (1/2) * 8 * 16 * sin(46.31°) ≈ 61.58 кв.см.

Площадь второго четырехугольника (S2): S2 = (1/2) * 10 * 4.05 * sin(46.31°) ≈ 20.04 кв.см.

Теперь найдем отношение S2 к S1: Отношение = S2 / S1 ≈ 20.04 / 61.58 ≈ 0.325.

Ответ: Площадь второго четырехугольника меньше площади первого примерно в 0.325 раза.