Question

Доказать теорему о сумме углов треугольника.

Answer 1

Поэтому сумма углов треугольника при вершинах B и С равна углу ABD. Сумма всех трёхуглов треугольника равна сумме углов ABD и BAC. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных AC и BD при секущей AB, то ихсумма равна 180°.

Answer 2

Доказательство теоремы о сумме углов треугольника можно провести с использованием геометрических свойств треугольников и параллельных линий. Предположим, что у нас есть треугольник ABC.

Шаг 1: Рисуем вспомогательную линию

Проведем линию, параллельную одной из сторон треугольника, скажем, стороне BC. Для этого можно взять точку D на прямой AB (не совпадающую с A или B) и провести прямую, параллельную BC, через точку D. Пусть эта линия пересекается с прямой AC в точке E (см. рисунок ниже).

cssCopy code
        A
       / \
      /   \
     /     \
    /_______\
   B         C
            /
           /
          /
         /
        E

Шаг 2: Рассмотрим углы

Теперь рассмотрим углы треугольников ABC и ADE:

1. В треугольнике ABC у нас есть три угла: угол A, угол B и угол C.
2. В треугольнике ADE у нас также есть три угла: угол A, угол D и угол E.

Шаг 3: Рассмотрим пары углов

Сосредоточимся на паре углов (A) обоих треугольников ABC и ADE. Обратите внимание, что эти углы находятся между параллельными прямыми BC и DE, и поэтому они являются соответственными углами.

Шаг 4: Рассмотрим угол ADE

Так как угол A и угол ADE являются соответственными углами, они равны между собой: ∠A = ∠ADE (1).

Шаг 5: Рассмотрим угол C

Теперь обратим внимание на угол C в треугольнике ABC и угол E в треугольнике ADE. Они оба находятся между параллельными прямыми AC и DE и также являются соответственными углами.

Шаг 6: Рассмотрим угол ACE

Поскольку угол C и угол ACE являются соответственными углами, они равны между собой: ∠C = ∠ACE (2).

Шаг 7: Рассмотрим угол ADE и угол ACE

В треугольнике ADE у нас есть три угла: угол A, угол D и угол E. Сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусов, поэтому:

∠A + ∠D + ∠E = 180° (3).

Шаг 8: Замена углов

Теперь заменим ∠A на ∠ADE (согласно шагу 4) и ∠E на ∠ACE (согласно шагу 6) в уравнении (3):

∠ADE + ∠D + ∠ACE = 180°.

Шаг 9: Объединение углов

Теперь объединим углы ADE и ACE в один угол AEC:

∠AEC + ∠D = 180°.

Шаг 10: Угол AEC

Обратите внимание, что угол AEC и угол B в треугольнике ABC являются вертикальными углами и поэтому равны между собой.

∠AEC = ∠B (4).

Шаг 11: Подставим угол B

Теперь подставим ∠B в уравнение (10):

∠B + ∠D = 180°.

Шаг 12: Угол D

Угол D и угол C в треугольнике ABC также являются вертикальными углами и равны между собой.

∠D = ∠C (5).

Шаг 13: Подставим угол C

Теперь подставим ∠C в уравнение (12):

∠B + ∠C = 180°.

Таким образом, мы доказали теорему о сумме углов треугольника:

В треугольнике сумма всех его углов равна 180°.