Question

Помогите с задачей пожалуйста. На стороне АС треугольника АВС взята точка N, а на стороне ВС - точка М так, что CN:NA=5, а площади многоугольников NMC и ANMB относятся как 5:6. Найти СМ: МВ.

Answer 1

S(NMC)/S(ANMB)= 5/6
S(ABC)=S(NMC)+S(ANMB)
S(NMC)/S(ABC)= 5/11

CN/NA= 5/1
AC=CN+NA
CN/AC= 5/6

S(NMC)= CN*CM*sinC/2
S(ABC)= AC*BC*sinC/2

S(NMC)/S(ABC)= CN*CM/AC*BC <=>
5/11= 5/6 *CM/BC <=>
CM/BC= 6/11

BC=CM+MB
CM/MB= 6/5

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся условиями, данные в задаче, и некоторыми свойствами треугольников.

Пусть $CN = 5x$, тогда $NA = 1x$ (согласно условию $CN:NA=5:1$).

Обозначим площадь треугольника $NMC$ как $S_{NMC}$, а площадь треугольника $ANMB$ как $S_{ANMB}$.

Тогда по условию задачи, $S_{NMC} : S_{ANMB} = 5 : 6$.

Мы знаем, что площадь треугольника равна половине произведения длины основания на высоту, опущенную к этой основанию.

Так как треугольник $NMC$ и треугольник $ANMB$ имеют общее основание $NM$, для нахождения соотношения длин $CM$ и $MB$ (т.е. $CM:MB$), достаточно найти соотношение высот, опущенных из точек $C$ и $A$ к основанию $NM$.

Пусть $h_1$ — высота из $C$ на $NM$, а $h_2$ — высота из $A$ на $NM$. Тогда площади треугольников $NMC$ и $ANMB$ можно выразить следующим образом:

$S_{NMC} = \frac{1}{2} \cdot h_1 \cdot NM$ $S_{ANMB} = \frac{1}{2} \cdot h_2 \cdot NM$

Так как $h_1$ и $h_2$ опущены из вершин $C$ и $A$ соответственно, мы можем выразить их через длины отрезков $CN$ и $NA$:

$h_1 = CN - CM = 5x - CM$ $h_2 = NA - AM = 1x - MB$

Теперь мы можем записать соотношение площадей:

$\frac{S_{NMC}}{S_{ANMB}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (5x - CM) \cdot NM}{\frac{1}{2} \cdot (1x - MB) \cdot NM} = \frac{5}{6}$

Сократим $NM$:

$\frac{5x - CM}{1x - MB} = \frac{5}{6}$

Теперь мы можем решить это уравнение относительно $CM:MB$:

$6(5x - CM) = 5(1x - MB)$ $30x - 6CM = 5x - 5MB$ $5MB - 6CM = 30x - 5x$ $5MB - 6CM = 25x$ $\frac{5MB}{25x} - \frac{6CM}{25x} = 1$ $\frac{MB}{5x} - \frac{6CM}{25x} = 1$ $\frac{MB - 6CM}{5x} = 1$

Теперь мы можем выразить $MB$:

$MB - 6CM = 5x$ $MB = 5x + 6CM$

Поскольку мы ищем соотношение $CM:MB$, мы можем выразить $CM$ через $MB$:

$CM = \frac{MB - 5x}{6}$

Теперь заменим $CM$ в уравнении выражением через $MB$:

$\frac{MB - 5x}{6} = \frac{MB}{5x}$

Теперь решим уравнение:

$5x(MB - 5x) = 6MB$ $5xMB - 25x^2 = 6MB$ $5xMB - 6MB = 25x^2$ $MB(5x - 6) = 25x^2$ $MB = \frac{25x^2}{5x - 6}$

Теперь, зная $MB$, мы можем выразить $CM$:

$CM = \frac{MB - 5x}{6} = \frac{\frac{25x^2}{5x - 6} - 5x}{6}$

Упростим это выражение:

$CM = \frac{25x^2 - 5x(5x - 6)}{6(5x - 6)}$ $CM=\frac{25x^2-25x^2+30x}{6(5x-6)}$ 0 0