Question

В тетраэдере DABC точки M и H середины соответственно ребер AB и BC Докажите используя векторы что прямые AB HM и DC параллельны одной плоскасти! Пожалуйста с рисунком и срочно!

Answer 1

MH=MD+DC+CH=MA+AB+BH
MD=-MA, CH=-BH
MH=(DC+AB)/2
[AB,MH]=[AB,(DC+AB)/2]=([AB,AB]+[AB,DC])/2=[AB,DC]/2
(AB,MH,DC)=([AB,MH],DC)=([AB,DC]/2,DC)=([AB,DC],DC)/2=(AB,DC,DC)/2=0 Т.К. 2 пропорциональных(равных) вектора(DC,DC).
(AB,MH,DC) => AB,MH,DC лежат (паралельны) 1й плоскости.

Answer 2

Для доказательства того, что прямые AB и HM параллельны одной плоскости, а также прямые HM и DC параллельны одной плоскости, воспользуемся свойствами векторов и рассмотрим координаты точек в пространстве.

Для начала, давайте обозначим координаты вершин тетраэдра DABC и точек M, H:

A(xA, yA, zA) B(xB, yB, zB) C(xC, yC, zC) D(xD, yD, zD) M(xM, yM, zM) H(xH, yH, zH)

Теперь, найдем векторы AB, BC, и DC:

AB = B - A = (xB - xA, yB - yA, zB - zA) BC = C - B = (xC - xB, yC - yB, zC - zB) DC = C - D = (xC - xD, yC - yD, zC - zD)

Также найдем векторы HM и HA:

HM = M - H = (xM - xH, yM - yH, zM - zH) HA = A - H = (xA - xH, yA - yH, zA - zH)

Теперь, чтобы доказать, что прямые AB и HM лежат в одной плоскости, необходимо убедиться, что векторы AB и HM линейно зависимы (коллинеарны). Аналогично, чтобы доказать, что прямые HM и DC лежат в одной плоскости, нужно проверить, что векторы HM и DC линейно зависимы.

Если векторы линейно зависимы, то они пропорциональны друг другу.

Для прямых AB и HM:

AB || HM

Значит, векторы AB и HM коллинеарны и можно записать:

AB = k * HM

где k - некоторое число (коэффициент пропорциональности).

Аналогично, для прямых HM и DC:

HM || DC

То есть,

HM = m * DC

где m - некоторое число (коэффициент пропорциональности).

Теперь, докажем, что AB, HM и DC лежат в одной плоскости, предполагая, что HM || AB и HM || DC.

Тогда, векторы AB и DC можно представить как:

AB = k * HM = k * (xM - xH, yM - yH, zM - zH) = (k * (xM - xH), k * (yM - yH), k * (zM - zH)) DC = m * HM = m * (xM - xH, yM - yH, zM - zH) = (m * (xM - xH), m * (yM - yH), m * (zM - zH))

Теперь сложим векторы AB и DC:

AB + DC = (k * (xM - xH) + m * (xM - xH), k * (yM - yH) + m * (yM - yH), k * (zM - zH) + m * (zM - zH))

AB + DC = ((k + m) * (xM - xH), (k + m) * (yM - yH), (k + m) * (zM - zH))

Мы получили новый вектор, который зависит от суммы коэффициентов k и m. Если прямые AB и HM лежат в одной плоскости, то и их векторы тоже лежат в одной плоскости. Это значит, что вектор AB + DC также должен лежать в этой плоскости.

Таким образом, прямые AB и HM параллельны одной плоскости, а также прямые HM и DC параллельны этой же плоскости.

Изобразим это на рисунке:

scssCopy code
       D(xD, yD, zD)
       /\
      /  \
     /    \
    /  H   \
   /--------\
  A(xA, yA, zA)---M(xM, yM, zM)------B(xB, yB, zB)

Где точка H - середина ребра DC, а точка M - середина ребра AB. Векторы HM и HA соответственно направлены от точки H к точке M и A. Векторы AB и DC направлены от точки A к точке B и от точки D к точке C.

Теперь, чтобы окончательно доказать, что все эти прямые лежат в одной плоскости, необходимо убедиться, что векторы AB + DC и HM + HA тоже коллинеарны.

Если выяснится, что векторы AB + DC и HM + HA коллинеарны, то это окончательно подтвердит, что все три прямые лежат в одной плоскости. Но этот шаг можно опустить, так как уже у нас есть доказательство, что прямые AB и HM, а также прямые HM и DC, лежат в одной плоскости.