Question

катеты прямоугольного треугольника равны 36 и 48. Найдите расстояние от центра вписанной в этот треугольник окружности до высоты проведённой к гипотенузе

Answer 1

Гипотенуза (по теореме Пифагора)
с² = 48² + 36² =2304 + 1296 = 3600
с = 60
Площадь через катеты
S = 1/2*36*48 = 864 
Полупериметр
p = 1/2(36 + 48 + 60) = 72
Площадь через полупериметр и вписанную окружность
S = rp
864 = r*72
r = 12
---
Площадь через гипотенузу и высоту
S = 1/2*h*60 = 864
h = 144/5
---
Короткий отрезок гипотенузы, отсекаемый высотой, найдём по т. Пифагора
x² + h² = 36²
x² + (144/5)² = 36²
x² + 20736/25 = 1296
x² = 11664/25
x = 108/5
---
Короткий отрезок гипотенузы y, отсекаемый биссектрисой прямого угла найдём из пропорциональности отрезков, на которые биссектриса делит противолежащую сторону прилежащим сторонам
y/36 = (60-y)/48
4y = 180 - 3y
7y = 180
y = 180/7
Расстояние между точками пересечения с гипотенузой высоты и биссектрисы
z₂ = y - x = 180/7 - 108/5 = (180*5 - 108*7)/35 = (900 - 756)/35 = 144/35
В больном синем треугольнике не хватает гипотенузы
l₂² = (144/5)² + (144/35)²
l₂² = 144²*(1/5² + 1/35²) = 144²*(7²/35² + 1/35²) = 144²*50/35² = 144²*2/7²
l₂ = 144√2/7
Расстояние между вершиной прямого угла исходного треугольника и центром вписанной окружности (r=12)
l₁² = r² + r² 
l₁² = 2r²
l₁² = 2*12²
l₁ = 12√2
Коэффициент подобия малого и большого синего треугольников
k = l₁/l₂ = 12√2/(144√2/7) = 7/12
и из подобия короткий катет малого синего треугольника
k = z₁/z₂
7/12 = z₁/(144/35)
z₁ = 12/5

Answer 2

Чтобы найти расстояние от центра вписанной окружности до высоты, проведенной к гипотенузе, нужно знать радиус вписанной окружности и высоту треугольника.

Для начала найдем площадь прямоугольного треугольника по формуле:

Площадь = (полупериметр) * (радиус вписанной окружности),

где полупериметр равен полусумме всех сторон треугольника.

Полупериметр (p) можно найти, просуммировав все стороны треугольника и разделив на 2:

p = (36 + 48 + гипотенуза) / 2.

Узнаем значение гипотенузы по теореме Пифагора:

гипотенуза^2 = катет1^2 + катет2^2, гипотенуза^2 = 36^2 + 48^2, гипотенуза^2 = 1296 + 2304, гипотенуза^2 = 3600, гипотенуза = √3600, гипотенуза = 60.

Теперь можем найти полупериметр:

p = (36 + 48 + 60) / 2, p = 144 / 2, p = 72.

Далее, радиус вписанной окружности (r) можно найти, используя формулу:

r = Площадь / полупериметр.

Так как мы знаем, что площадь равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности:

Площадь = p * r.

Таким образом, получаем:

r = Площадь / p, r = (36 * 48) / 72, r = 24.

Теперь, чтобы найти расстояние от центра вписанной окружности до высоты, проведенной к гипотенузе, нам нужно найти высоту треугольника.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине произведения катетов, деленной на длину гипотенузы:

Высота = (катет1 * катет2) / гипотенуза, Высота = (36 * 48) / 60, Высота = 28.8.

Таким образом, расстояние от центра вписанной в треугольник окружности до высоты, проведенной к гипотенузе, составляет 28.8 единиц (единицы измерения, в которых заданы катеты).