Question

В прямоугольной описанной трапеции диагонали пересекаются в точке K.Расстояния от точки К до боковых сторон равны 4 и 5. Найдите площадь трапеции и радиус вписанной окружности.

Answer 1

Дана прямоугольная трапеция АВСД, диагонали которой пересекаются в точке K.Расстояния от точки К до боковых сторон равны 4 и 5. Найти площадь трапеции и радиус вписанной окружности.

Так как трапеция прямоугольная, то сразу из задания находим ответ на вопрос: радиус вписанной окружности равен расстоянию от точки К до вертикальной боковой стороны АВ и  равен 5.
Тогда АВ = 2*5 = 10. Это также и высота Н трапеции.
На основе свойства любой трапеции: треугольники, лежащие на боковых сторонах, равновеликие, находим наклонную боковую сторону.
S(АВК) = S(СКД).
Отсюда СД = 10*5/4 = 12,5.
На основе свойства описанной трапеции: сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон, находим среднюю линию L трапеции.
L = (10 + 12,5)/2 = 22,5/2 = 11,25.
Получаем ответ:
S = HL = 10*11.25 = 112.5 кв.ед.

Answer 2

Чтобы найти площадь трапеции, нам понадобится её высота. Поскольку диагонали трапеции пересекаются в точке K, получаем следующую схему:

markdownCopy code
        A_______B
        /       \
       /         \
      /           \
     /             \
    /               \
   /                 \
  /                   \
 /                     \
D_______________________C
           K

Здесь AB и CD - основания трапеции, а AC и BD - её диагонали. Также дано, что расстояния от точки К до боковых сторон равны 4 и 5. Обозначим высоты трапеции, опущенные из точки K на боковые стороны, как h1 и h2 соответственно.

По условию задачи:

h1 = 4 h2 = 5

Теперь можно найти площадь трапеции по формуле:

Площадь = (сумма оснований) * (высота) / 2

Площадь = (AB + CD) * (h1 + h2) / 2

Теперь нам нужно найти длины оснований AB и CD. Для этого воспользуемся теоремой подобных треугольников.

cssCopy code
      x
      |\
h1    | \ h2
      |  \
      |   \
      |____\
       h2

Из подобия треугольников получаем следующее:

h1 / x = h2 / h2

h1 * h2 = x * h2

x = h1

Таким образом, длины оснований AB и CD равны h1 и h2 соответственно.

Теперь подставим значения в формулу для площади:

Площадь = (h1 + h2) * (h1 + h2) / 2

Площадь = (4 + 5) * (4 + 5) / 2

Площадь = 9 * 9 / 2

Площадь = 81 / 2

Площадь = 40.5 квадратных единиц.

Теперь перейдем к нахождению радиуса вписанной окружности. Для этого воспользуемся следующей формулой:

Радиус вписанной окружности = Площадь / Полупериметр

Полупериметр трапеции равен сумме всех её сторон, деленной на 2:

Полупериметр = (AB + BC + CD + DA) / 2

Полупериметр = (h1 + h2 + AB + CD) / 2

Так как AB и CD являются основаниями трапеции, их длины равны h1 и h2 соответственно:

Полупериметр = (h1 + h2 + h1 + h2) / 2

Полупериметр = (2 * h1 + 2 * h2) / 2

Полупериметр = (2 * 4 + 2 * 5) / 2

Полупериметр = (8 + 10) / 2

Полупериметр = 18 / 2

Полупериметр = 9

Теперь подставим значения в формулу для радиуса вписанной окружности:

Радиус вписанной окружности = 40.5 / 9

Радиус вписанной окружности = 4.5

Таким образом, площадь трапеции равна 40.5 квадратных единиц, а радиус вписанной окружности равен 4.5 единицы.