Question

из точек А и В, лежащих двух перпендикулярных плоскостях, проведены в них перпендикуляры АС и ВД к линии пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если АС=12см, ВД=15см, СД=16

Answer 1

Решение и чертёж на приложенном изображении.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Пифагора в пространстве.

Пусть P - точка пересечения перпендикуляров AC и BD (точка внутри отрезка AB).

Так как AC и BD - перпендикуляры к линии пересечения плоскостей, то треугольники APC и BPD прямоугольные. Тогда можем записать следующее:

AP² + PC² = AC² ...(1) BP² + PD² = BD² ...(2)

Мы знаем длины сторон AC, BD и PD:

AC = 12 см BD = 15 см PD = 16 см

Также заметим, что треугольник ACP и треугольник BDP подобны, так как у них есть два угла, равные 90°, и углы при вершине P равны, так как перпендикуляры к одной прямой. Таким образом, соотношение между сторонами этих треугольников будет пропорциональным.

Мы можем записать это как:

AC / PC = BD / PD

Теперь можем найти PC:

PC = AC * PD / BD PC = 12 * 16 / 15 PC ≈ 12.8 см

Теперь можем найти AP и BP, используя теорему Пифагора в прямоугольных треугольниках APC и BPD:

AP² = AC² - PC² AP² = 12² - 12.8² AP ≈ 4.8 см

BP² = BD² - PD² BP² = 15² - 16² BP ≈ 9.2 см

Теперь найдем длину отрезка AB:

AB = AP + BP AB ≈ 4.8 см + 9.2 см AB ≈ 14 см

Таким образом, длина отрезка AB составляет приблизительно 14 см.