Question

ДАЮ 50 БАЛЛОВ!!! ПЛИИИИИИЗЗЗ Прямокутний ∆АВС вписано в коло з центром О радіуса R. До гіпотенузи АС проведено медіану і висоту, кут між якими дорівнює меншому з кутів даного трикутника – куту А. Чому дорівнює відстань від основи висоти до вершини А? ( Розв’язання передбачає розгорнуту обґрунтовану відповідь – записані послідовні логічні дії та пояснення з посиланням на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження, при необхідності – проілюстровано схемами, графіками, таблицями)

Answer 1

--- 1 ---
ΔАВМ равнобедренный, т.к. в прямоугольном треугольнике медиана ВМ равна половине АМ гипотенузы АС
∠ВАМ = ∠АВМ = β
--- 2 ---
ΔАВС ~ ΔВСТ (~ - символ подобия)
т.к. угол С у этих треугольников общий, и по одному прямому углу ∠АВС = ∠ВСТ = 90°
∠СВТ = ∠ВАС = β
--- 3 ---
Угол между медианой и высотой по условию равен острому углу треугольника
∠МВТ = ∠ВАС = β
--- 4 ---
∠АВС = ∠АВМ + ∠ МВТ + ∠СВТ = 3β
β = 30°
Это угол А исходного треугольника
--- 5 ---
известен радиус вписанной окружности, надо найти гипотенузу 
АО = АД = x
CO = CE = y
ВД = ВЕ = r
Теорема Пифагора
(x+y)² = (x+r)² + (y+r)²
и катет против угла в 30 градусов в 2 раза короче гипотенузы
x + y = 2(r + y)
x + y = 2r + 2y
x = 2r + y
(2r + y + y)² = (2r + y + r)² + (y+r)²
(2r + 2y)² = (3r + y)² + (y+r)²
4r² + 8yr + 4y² = 9r² + 6yr + y² + y² + 2yr + r²
2y² = 6r²
y² = 3r²
y = r√3 (отрицательный корень отбросили)
x = 2r + y = 2r + r√3
--- 6 ---
Длина гипотенузы
АС = x + y = 2r + r√3 + r√3 = 2r + 2r√3
Половина гипотенузы
МС = АС/2 = r + r√3
ВТ - высота равнобедренного треугольника МВС, точка Т делит основание пополам.
Расстояние между точками медианы М и высоты Т
МТ = 1/2*МС = r(1 + √3)/2
РАсстояние между точкой высоты и вершиной А
АТ = АМ + МТ = 3r(1 + √3)/2

Answer 2

Дякую за 50 балів! Давайте розглянемо цю задачу крок за кроком:

1. Позначимо точки так: А, В і С - вершини прямокутного трикутника, О - центр кола, R - радіус кола, ОА = ОВ = ОС = R - радіус кола.

2. Позначимо точку, в якій медіана АС перетинає гіпотенузу ВС, як точку М.

3. Оскільки АВС - прямокутний трикутник, то медіана АМ є половиною гіпотенузи ВС.

4. Позначимо точку перетину медіани АМ з колом як точку Р.

5. Враховуючи особливість вписаного прямокутного трикутника, маємо, що коло проходить через точки В і С, а тому ВО = СО = R.

6. Також враховуємо, що трикутник ВОР - прямокутний, оскільки він утворений хордою ВС і діаметром ОР (оскільки О - центр кола, а В та С лежать на колі).

7. За властивостями прямокутних трикутників, якщо кут А - найменший кут трикутника АВС, то кут ОВР дорівнює куту А (тобто кут ВОР = кут А).

Тепер давайте зосередимось на відстані від основи висоти до вершини А, яку позначимо як х.

8. Відомо, що в прямокутному трикутнику АВС висота, проведена до гіпотенузи АС, є середньою геометричною між двома відрізками, на які вона розділяє гіпотенузу.

9. Тобто, якщо х - відстань від основи висоти до вершини А, то відрізки, на які вона розділяє гіпотенузу, мають довжини х та (2R - х) (загалом гіпотенуза АС має довжину 2R, оскільки радіус кола R).

10. За властивостями подібних трикутників, можемо записати наступне співвідношення:

    х / АМ = АМ / AC

11. Ми знаємо, що медіана АМ дорівнює половині гіпотенузи, тобто АМ = R.

12. Підставимо це значення в співвідношення:

    х / R = R / AC

13. Перегрупуємо співвідношення, щоб виразити х:

    х = (R^2) / AC

Отже, отримали вираз для відстані від основи висоти до вершини А: х = (R^2) / AC.