Question

14) В треугольнике АВС ВD – биссектриса. Найдите градусную меру угла АDB, если угол ВАС равен 45°, а угол ВСА = 55°.

Answer 1

180-45+55= 80 /2 = 40
180-45+40= 95

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойством биссектрисы треугольника, которое гласит: биссектриса угла делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные смежным сторонам этого угла.

Пусть угол АDB имеет градусную меру х. Тогда по свойству биссектрисы можно записать следующее отношение длин сторон:

BD / CD = AB / AC

Теперь по условию задачи у нас есть два угла треугольника ВАС: угол ВАС равен 45°, а угол ВСА равен 55°.

Так как сумма углов треугольника равна 180°, можем найти угол САВ:

Угол САВ = 180° - угол ВАС - угол ВСА Угол САВ = 180° - 45° - 55° Угол САВ = 80°

Теперь, используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ВАС, где угол САВ равен 80°, можем найти значения соответствующих тригонометрических функций:

тг(80°) = AB / AC

Теперь нам нужно найти значения сторон AB и AC в выражении для отношения длин BD и CD:

BD / CD = AB / AC

Заметим, что у нас есть дополнительная информация об угле ВСА:

тг(55°) = AC / BC

Теперь мы можем записать соотношение для отношения BD и CD, используя известные значения тригонометрических функций:

BD / CD = AB / AC = тг(80°) / тг(55°)

Теперь зная это отношение, мы можем выразить AB через CD:

AB = (BD / CD) * AC

Теперь обратим внимание на треугольник ABD. Угол АDB равен х (мы ищем его градусную меру). По условию у нас есть биссектриса BD, и мы знаем угол ВАС равен 45°, значит угол ВАD тоже равен 45° (по свойству биссектрисы).

Теперь у нас есть угол ВАD и угол А, и мы можем найти угол АBD:

Угол АBD = 180° - угол ВАD - угол А Угол АBD = 180° - 45° - х Угол АBD = 135° - х

Теперь вспомним, что в треугольнике ABD сумма углов равна 180°:

Угол А + Угол АBD + Угол АDB = 180°

Подставим известные значения:

х + (135° - х) + 45° = 180°

Решим уравнение:

180° - х + х = 180° - 45° х = 135°

Таким образом, градусная мера угла АDB равна 135°.