Question

Отрезки AC и BD пересекаются в точке M, AB || CD и MD=MB. Докажите, что AM = MC.

Answer 1

Треугольник ABM = треугольнику CDM по стороне и 2 прилежащим углам. Углы при М - вертикальные, MD=MB по условию, углы при B и D равны как внутренние накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей BD. Раз равны треугольники, то равны и соответствующие части, отсюда AM = MC

Answer 2

Для доказательства того, что AM = MC, мы можем использовать параллельные линии и свойства треугольников. Для этого давайте рассмотрим треугольники AMD и CMB.

У нас есть следующие условия:

1. AB || CD (то есть AB и CD параллельны).
2. MD = MB (дано).

Теперь рассмотрим треугольники AMD и CMB:

1. AM || CB (по свойству параллельных линий, так как AM и CB обе параллельны AB и CD).
2. MD = MB (дано).
3. Угол AMD и угол CMB - общие углы.

Теперь давайте рассмотрим противоположные стороны треугольников:

1. AM (из треугольника AMD) и CM (из треугольника CMB).
2. Для доказательства AM = CM, нам нужно доказать, что углы AMB и CMB равны.

Теперь, используя утверждения выше, можем провести доказательство:

1. Так как AB || CD, то углы AMB и CMB - соответственные углы (они находятся по одну сторону от параллельных линий и пересекаются).
2. По условию, MD = MB, значит, треугольник MBD - равнобедренный (так как у него две равные стороны MD и MB).
3. Значит, угол MBD = углу MDB (так как в равнобедренном треугольнике боковые углы при равных сторонах равны).
4. Угол MDB = углу AMD (по свойству вертикальных углов).
5. Таким образом, угол MBD = углу AMD.

Теперь возвращаемся к треугольникам AMD и CMB:

У нас есть углы:

1. Угол AMB = углу MBD (по соответственным углам).
2. Угол MBD = углу AMD.

Значит, угол AMB = углу AMD = углу CMB.

Теперь у нас есть два треугольника AMD и CMB с равными углами AMB и CMB и общим углом M. Следовательно, они подобны.

Следовательно, соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны. Но у нас есть сторона MD = MB, таким образом, соответствующие стороны AM и CM также равны.

Таким образом, AM = CM.