Question

В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АЕ и СК. Площади треугольников ВЕК и АВС равны 1/2 см и 9/2 см соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ВЕК, если АС = 3 см. Попрошу не делать copy paste того ужасного решения, которое вы найдёте в интернете на данном сайте.

Answer 1

Решение во вложении.

Ради интереса заглянула в то самое решение, которое Вы назвали "ужасным". Оно вполне себе верное и даже красивое, но я понимаю, почему оно Вам не нравится: там нет никаких объяснений. Мой способ решения оказался аналогичным, но со всеми объяснениями.

Сначала доказываем подобие треугольников AEB и CKB. Они подобны по двум углам: B - общий угол, а углы AEB и CKB прямые. Из этого подобия получаем отношение BE/BK = AB/BC. Домножая обе части на BK/AB, получаем: BE/AB = BK/BC. А это уже отношение сторон треугольников BEK и BAC. Учитывая, что в этих треугольниках есть еще и общий угол ABC, получаем, что они также подобны.

Ищем коэффициент подобия. Если загляните в школьный учебник, то увидите: квадрат коэффициента подобия равен отношения площадей подобных треугольников.

Из подобия треугольников получаем отношения сторон AC и KE, равное коэффициенту k. Так как АС известно, то мы легко находим КЕ.

Дальше используем определение косинуса в треугольнике АЕВ. Прилежащий катет - это сторона BE, гипотенуза - сторона AB. Степень -1 в моем решении появилась из-за того, что я брала k = AB/BE (то есть то, как стороны большего треугольника относятся к сторонам меньшего), а при вычислении косинуса появилась дробь BE/AB.

Зная косинус, легко получаем синус, используя основное тригонометрическое тождество: (sin(x))^2 + (cos(x))^2 = 1 => cos(x) = sqrt(1 - (sin(x))^2).

Радиус окружности, описанной около треугольника, вычисляется по формуле: R = a/(2sin(x)), - где a - сторона треугольника, x - угол, лежащий против этой стороны.

Вот и все решение. Ответ: 3/4 см.

Answer 2

Хорошо, я постараюсь предоставить вам понятное и свежее объяснение решения без копирования с других источников.

Для начала, обозначим за R радиус окружности, описанной вокруг треугольника ВЕК.

Зная, что площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними, можно записать формулу для площади треугольника ВЕК:

1/2 * ВЕ * ЕК * sin(∠ВЕК) = 1/2

Аналогично для треугольника АВС:

1/2 * АВ * ВС * sin(∠АВС) = 9/2

Заметим, что сторона ВЕ это высота АЕ в остроугольном треугольнике АВЕ, а сторона ЕК это высота СК в остроугольном треугольнике СЕК.

Также, мы знаем, что высоты остроугольных треугольников пересекаются в одной точке и образуют точку пересечения ортоцентр (обозначим его за О).

Теперь рассмотрим треугольник АОС, где О - ортоцентр остроугольного треугольника АВЕ, а С - вершина остроугольного треугольника АВС.

В этом треугольнике у нас есть сторона АС (3 см) и площадь 9/2 см². Также, сторона АО и сторона ОС - это высоты АЕ и СК соответственно.

Мы можем использовать формулу для площади треугольника через стороны и радиус описанной окружности:

Площадь треугольника АОС = 1/2 * АО * ОС * sin(∠АОС)

Также, радиус окружности описанной вокруг треугольника АВС равен R (по условию).

Известные нам величины:

• АС = 3 см
• Площадь треугольника АОС = 9/2 см²
• Радиус окружности, описанной вокруг треугольника ВЕК = R

Теперь у нас есть два уравнения:

1. 1/2 * ВЕ * ЕК * sin(∠ВЕК) = 1/2
2. 1/2 * АО * ОС * sin(∠АОС) = 9/2

Из уравнения (1) выразим ВЕ * ЕК:

ВЕ * ЕК = 1/sin(∠ВЕК)

Теперь подставим это значение в уравнение (2):

1/2 * АО * ОС * sin(∠АОС) = 9/2 1/2 * АО * ОС * sin(∠АОС) = 9/2 1/2 * (ВЕ * ЕК) * ОС * sin(∠АОС) = 9/2 1/2 * (1/sin(∠ВЕК)) * ОС * sin(∠АОС) = 9/2 ОС / sin(∠ВЕК) * sin(∠АОС) = 9

Теперь заметим, что в треугольнике АОС угол ∠АОС является суплементарным к углу ∠ВЕК. Это значит, что:

sin(∠АОС) = sin(180° - ∠ВЕК) = sin(∠ВЕК)

Теперь уравнение примет вид:

ОС * sin(∠ВЕК) = 9

Теперь, обратим внимание на треугольник ВЕК. В нем у нас есть сторона ВЕ, сторона ЕК и сторона ВК (равная 2R, так как это диаметр окружности описанной вокруг ВЕК).

Можем записать формулу для площади треугольника ВЕК:

1/2 * ВЕ * ЕК * sin(∠ВЕК) = 1/2 ВЕ * ЕК * sin(∠ВЕК) = 1 ВЕ * ЕК = 1/sin(∠ВЕК)

Теперь заметим, что сторона ВЕ это высота АЕ в остроугольном треугольнике АВЕ, а сторона ЕК это высота СК в остроугольном треугольнике СЕК.

Известные нам величины:

• ВЕ * ЕК = 1/sin(∠ВЕК)
• ОС * sin(∠ВЕК) = 9

Теперь объединим эти уравнения:

(ВЕ * ЕК) * (ОС * sin(∠ВЕК)) = 1/sin(∠ВЕК) * 9

ВЕ * ЕК * ОС * sin(∠ВЕК) = 9

1 * 9 = 9

Таким образом, радиус окружности, описанной вокруг треугольника ВЕК, равен 9 см.