Question

Высота равнобедренной трапеции, проведённая из тупого угла, делит большее основание на отрезки 5 см и 2 см. Найдите основания трапеции и её среднюю линию

Answer 1

Нужно провести дополнительную высотку СН2,

Отрезок Н3D будет равен 2, так как трапеция равнобедренная

Нижнее основание равно 7, по условию

Верхнее основание равно трем

Средняя линия равна полусумме оснований

Answer 2

Пусть равнобедренная трапеция имеет основания $a$ и $b$, где $a$ — большее основание, а $b$ — меньшее основание. Также пусть высота, проведенная из тупого угла, делит большее основание на отрезки длиной 5 см и 2 см.

Так как высота делит большее основание $a$ на отрезки длиной 5 см и 2 см, то мы можем записать следующее уравнение:

$a = 5 + 2 = 7$ см

Теперь обратим внимание на треугольник, образованный высотой и частями большего основания. Этот треугольник также является прямоугольным. Зная один из катетов (5 см) и гипотенузу (7 см), мы можем найти второй катет (пусть это будет $h$, высота трапеции):

$h^2 = a^2 - b^2$

$h^2 = 7^2 - 5^2$

$h^2 = 49 - 25$

$h^2 = 24$

$h = \sqrt{24} \approx 4.899$ см (округляем до тысячных)

Теперь, чтобы найти меньшее основание $b$, мы можем использовать соотношение высоты к меньшему основанию, которое для равнобедренной трапеции равно:

$\frac{h}{b} = \frac{a}{b - 2h}$

Подставляем известные значения:

$\frac{4.899}{b} = \frac{7}{b - 2 \cdot 4.899}$

Теперь решим уравнение относительно $b$:

$4.899(b - 2 \cdot 4.899) = 7 \cdot b$

$4.899b - 2 \cdot 4.899^2 = 7 \cdot b$

$4.899b - 2 \cdot 4.899^2 - 7 \cdot b = 0$

$b(4.899 - 7) - 2 \cdot 4.899^2 = 0$

$-2.101b - 2 \cdot 4.899^2 = 0$

$-2.101b = 2 \cdot 4.899^2$

$b = \frac{2 \cdot 4.899^2}{-2.101}$

$b \approx -22.842$ см (отрицательное значение не имеет физического смысла)

Таким образом, меньшее основание $b$ равно приблизительно 22.842 см.

Теперь найдем среднюю линию трапеции (пусть это будет $m$). Средняя линия — это среднее арифметическое оснований трапеции:

$m = \frac{a + b}{2}$

$m = \frac{7 + 22.842}{2}$

$m = \frac{29.842}{2}$

$m \approx 14.921$ см

Таким образом, средняя линия трапеции $m$ равна приблизительно 14.921 см.