Question

Знайти об'єм конуса, твірна якого 6см і утворює кут 30 градусів з його висотою

Answer 1

Прямоугольный треугольник:
гипотенуза с=6 см - образующая конуса
угол α = 30° - угол между образующей  и высотой
катет а= 3 см - катет против угла 30°, => R=3 см
катет b - высота конуса Н =?, найти по теореме Пифагора:
c²=a²+b². 6²=3²+b², b=√27. b=3√3. => H=3√3 см
$V= \frac{1}{3}* S_{osn} *H$
S осн=πR²
$V= \frac{1}{3}* \pi * 3^{2} *3 \sqrt{3} =9 \sqrt{3} \pi$

ответ: V=9√3 см³

Answer 2

Для знаходження об'єму конуса, нам знадобиться формула:

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h,$

де $V$ - об'єм конуса, $\pi \approx 3.14159$ - число пі, $r$ - радіус основи конуса, $h$ - висота конуса.

Оскільки нам дано твірна і кут між твірною і висотою, ми можемо використати трикутник для знаходження радіусу та висоти конуса.

Спочатку знайдемо висоту конуса ($h$). Для цього ми розділимо твірну на довжину косинуса кута 30 градусів.

$h = \frac{\text{Твірна}}{\cos(30^\circ)}$

$h = \frac{6\, \text{см}}{\cos(30^\circ)}$

$h \approx 6.93\, \text{см}$

Тепер знайдемо радіус ( $r$). Ми можемо використати трикутник зі стороною, рівною половині твірної, висотою та радіусом.

$\sin(30^\circ) = \frac{\text{Протилегла}}{\text{Гіпотенуза}} = \frac{r}{\text{Твірна}/2}$

$r = \sin(30^\circ) \times \frac{\text{Твірна}}{2}$

$r = \sin(30^\circ) \times 3\, \text{см}$

$r \approx 1.5\, \text{см}$

Тепер, коли ми знаходимо $h \approx 6.93\, \text{см}$ та $r \approx 1.5\, \text{см}$, можемо обчислити об'єм конуса:

$V = \frac{1}{3} \pi \times (1.5\, \text{см})^2 \times 6.93\, \text{см}$

$V \approx 23.76\, \text{см}^3$

Отже, об'єм цього конуса приблизно 23.76 кубічних сантиметрів.