Question

Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 6 см и образует с боковой гранью угол 30º. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. С рисунком,пожалуйста.

Answer 1

Решение дано на фото.

Answer 2

Для решения этой задачи, нам понадобится знать формулу для вычисления площади боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды. Площадь боковой поверхности можно найти по формуле:

Площадь боковой поверхности = периметр основания × половина высоты

Где периметр основания - это сумма длин всех сторон основания.

Так как у нас правильная четырехугольная пирамида, то у нее основание - квадрат, и все его стороны равны. Обозначим длину одной стороны квадрата как "а".

Из условия задачи известно, что высота пирамиды равна 6 см и угол между боковой гранью и основанием составляет 30 градусов.

Давайте нарисуем плоскость сечения пирамиды этой боковой гранью:

cssCopy code
          A
         / \
        /   \
       /  6  \
      /       \
     /_________\
    B     a     C

Где А, В, С - вершины боковой грани, а а - длина одной стороны квадрата.

Мы можем разделить боковую грань на два треугольника, каждый из которых имеет углы 30, 60 и 90 градусов.

Теперь обратим внимание на треугольник ABC:

cssCopy code
          A
         / \
      6 /   \ 6
       /  30 \
      /       \
     /_________\
    B     a     C

Мы можем заметить, что у этого треугольника две равные стороны (AB = BC = 6 см), и угол между ними равен 30 градусов. Это означает, что треугольник ABC - равнобедренный, и у нас есть угол между боковой гранью и основанием (AB), а также известна высота пирамиды (h = 6 см).

Теперь нам нужно найти длину стороны квадрата "а".

Для этого воспользуемся тригонометрическим соотношением для равнобедренного треугольника:

a = (AB) / cos(30°)

a = 6 / cos(30°)

a = 6 / (√3 / 2)

a = 6 * (2 / √3)

a = 4√3 см

Теперь, когда у нас есть длина стороны квадрата, мы можем найти периметр основания (P):

P = 4 * a

P = 4 * 4√3 см

P = 16√3 см

Теперь, найдем площадь боковой поверхности пирамиды:

Площадь боковой поверхности = P * (h / 2)

Площадь боковой поверхности = 16√3 см * (6 см / 2)

Площадь боковой поверхности = 16√3 см * 3 см

Площадь боковой поверхности = 48√3 см²

Таким образом, площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды составляет 48√3 квадратных сантиметра.