Question

Центры двух касающихся окружностей совпадают с серединами боковых сторон прямоугольной трапеции. Диаметр каждой окружности равен той стороне, на которой расположен ее центр. Найти острый угол трапеции, если известно, что отношение длин оснований трапеции равно пяти.

Answer 1

Точка касания двух окружностей лежит на линии их центров. Поскольку центрами являются середины боковых сторон, линией центров является средняя линия трапеции и она равна сумме радиусов или полусумме боковых сторон. А так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований, сумма боковых сторон равна сумме оснований.

BC=x, AD=5x

AB+CD=AD+BC=6x

CH - высота, CH=AB

HD=AD-BC=4x

CH+CD=6x <=> CH=6x-CD

CH^2 + HD^2 = CD^2 <=>

(6x-CD)^2 + (4x)^2 = CD^2 <=>

36x^2 -12xCD +CD^2 +16x^2 = CD^2 <=>

CD= 52/12 *x =13/3 *x

cos(D) =HD/CD =4*3/13 =12/13

∠D= arccos(12/13) =22,62°

Answer 2

Пусть AB и CD - основания трапеции, где AB - большее основание, CD - меньшее основание. Пусть O1 и O2 - центры окружностей, описанных около треугольников ABO1 и CDO2, соответственно. Так как диаметр каждой окружности равен той стороне, на которой расположен ее центр, то O1A = O1B и O2C = O2D.

Поскольку центры окружностей O1 и O2 совпадают с серединами боковых сторон прямоугольной трапеции, то AO1BO2 - прямоугольник.

Пусть α - угол трапеции ABCD. Тогда угол в прямоугольнике AO1BO2 равен 180° - α.

Также, поскольку треугольники ABO1 и CDO2 - прямоугольные и одинаковые, то:

AB/O1B = CD/O2D,

AB/(AB/2) = CD/(CD/2),

2 = 2,

что является верным утверждением. Это означает, что треугольники ABO1 и CDO2 имеют одинаковые углы, в том числе углы при основаниях.

Теперь рассмотрим треугольник AOC. Пусть β - угол между сторонами AO1 и CO2 (этот угол также равен углу между сторонами AO2 и CO1, так как прямоугольник AO1BO2). Также, пусть h - расстояние между основаниями трапеции ABCD (высота трапеции).

Тогда из триугольника AOC можно получить:

tg(β) = h / (AB + CD) (1)

Также у нас есть отношение длин оснований трапеции:

AB / CD = 5 (2)

Теперь рассмотрим треугольник AOB. Пусть γ - острый угол этого треугольника. Из этого треугольника мы можем записать:

tg(γ) = h / (AB - CD) (3)

Теперь, используем три выражения (1), (2) и (3) для нахождения острого угла α.

Из (1):

tg(β) = h / (AB + CD)

tg(β) = h / (AB + (1/5)*AB) (подставляем AB/CD из (2))

tg(β) = h / (6/5 * AB)

h = (6/5 * AB) * tg(β) (4)

Из (3):

tg(γ) = h / (AB - CD)

tg(γ) = h / (AB - (1/5)*AB) (подставляем AB/CD из (2))

tg(γ) = h / (4/5 * AB)

h = (4/5 * AB) * tg(γ) (5)

Из (4) и (5) следует:

(6/5 * AB) * tg(β) = (4/5 * AB) * tg(γ)

tg(β) / tg(γ) = 4/6

tg(β) / tg(γ) = 2/3 (6)

Теперь рассмотрим прямоугольник AO1BO2:

tg(180° - α) = O1B / AO1

tg(α) = AO1 / O1B (так как tg(180° - α) = tg(α))

tg(α) = (AB/2) / (AB/5) (так как AO1 = AB/2 и O1B = AB/5)

tg(α) = 5/2

Теперь, чтобы найти острый угол α, возьмем арктангенс от обеих сторон:

α = arctg(5/2) ≈ 68.2°

Таким образом, острый угол трапеции равен приблизительно 68.2°.