Question

В треугольнике авс взята произвольная точка о докажите что ао+во+со меньше периметра треугольника 7 класс

Answer 1

Рисунок и доказательство смотри в приложении

Answer 2

Для доказательства утверждения "ао + во + со меньше периметра треугольника авс" построим сравнение двух сумм: ао + во + со и периметра треугольника авс.

Пусть ао = ах + хо, где х - это точка на стороне ав, а хо - это отрезок, проведенный из точки х до вершины о. Аналогично во = ву + уо и со = сw + wo, где у и w - это точки на сторонах вс и са соответственно, а хо, уо и wo - это отрезки, проведенные из точек х, у и w до вершины о.

Теперь заметим, что треугольник оху является вложенным в треугольник авс, и треугольник оху подобен треугольнику авс (по двум углам). Аналогично, треугольники усw и авс подобны, а также треугольники охw и авс подобны.

Таким образом, можем записать следующие отношения длин сторон:

ох / ав = хо / ао, уw / ав = уо / во, хw / ав = wo / со.

Теперь объединим эти отношения:

ох / ав + уw / ав + хw / ав = (хо / ао) + (уо / во) + (wo / со).

Используем свойство пропорции для каждого из отношений:

ох / ав + уw / ав + хw / ав = (хо / ах) + (уо / ву) + (wo / сw).

Так как точка х, у и w выбраны произвольно на сторонах ав, ву и сw соответственно, то длины отрезков хо, уо и wo будут меньше длин сторон ао, во и со. Следовательно, их обратные значения (1/хо, 1/уо и 1/wo) будут больше единицы. Поэтому:

(хо / ах) + (уо / ву) + (wo / сw) > 1 + 1 + 1 = 3.

Таким образом, получаем:

ох / ав + уw / ав + хw / ав > 3.

Теперь, вернемся к исходному выражению:

ох / ав + уw / ав + хw / ав = (ох + уw + хw) / ав = (ао + во + со) / ав.

Итак, мы доказали, что (ао + во + со) / ав > 3.

Теперь заметим, что точка ав является общей для всех трех отрезков ао, во и со, и их сумма (ао + во + со) будет равна сумме всех трех сторон треугольника авс, то есть периметру треугольника авс.

Таким образом, (ао + во + со) / ав > 3 эквивалентно ао + во + со > 3 * ав.

Из условия задачи известно, что ав - это периметр треугольника авс, который обозначим как P.

Таким образом, ао + во + со > 3 * P.

Итак, мы доказали, что сумма длин отрезков ао, во и со больше, чем три раза периметр треугольника авс:

ао + во + со > 3 * P.

Так как P - это периметр треугольника, то 3 * P больше, чем P:

3 * P > P.

Теперь мы можем объединить неравенства:

ао + во + со > 3 * P > P.

Таким образом, мы доказали, что ао + во + со больше, чем периметр треугольника авс, что завершает доказательство.