Question

Докажите, что отрезок соединяющий середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника меньше полусуммы его диагоналей

Answer 1

решение смотри в файле.

Answer 2

Рассмотрим четырехугольник ABCD; Пусть в нем диагональ AC зафиксирована, то есть имеет постоянную длину. Минимальная полусумма диагоналей получается тогда, когда вторая диагональ имеет нулевую длину. В таком случае точка B переходит в точку D. Рассмотрим отрезок MN - тот, что соединяет середины сторон BC и AD. Он сместился в точку M', причем MN ║ BD, поскольку B сместилась в D. Точка N осталась на прежнем месте. Получили треугольник ACD в котором M'N - средняя линия. Поэтому $M'N=\frac{1}{2}AC$, но мы рассматриваем четырехугольник, никакие две вершины которого не лежат друг на друге. Значит, в остальных случаях $\frac{AC+BD}{2}>MN$

Answer 3

Для доказательства данного утверждения рассмотрим выпуклый четырехугольник ABCD, где AB, BC, CD и DA - его стороны, а E и F - середины противоположных сторон AB и CD, BC и DA соответственно. Диагонали четырехугольника обозначим как AC и BD.

Мы хотим доказать, что длина отрезка EF меньше или равна половине суммы длин диагоналей AC и BD, т.е.

EF ≤ 1/2 (AC + BD)

Для начала, давайте вспомним, что середина отрезка делит его на две равные части. Таким образом, длина отрезка EF равна половине длины отрезка AB и половине длины отрезка CD:

EF = 1/2 AB EF = 1/2 CD

Далее, рассмотрим треугольники AEF и CEF. По неравенству треугольника для каждого из них можно записать следующее:

AE + EF > AF CE + EF > CF

Так как AE = CE (поскольку E - середина стороны AB, а F - середина стороны CD), то можем объединить два неравенства:

AE + EF > AF AE + EF > CF

Теперь сложим эти два неравенства:

2(AE + EF) > AF + CF

Теперь заметим, что AF + CF представляет собой длину диагонали AC четырехугольника ABCD:

AF + CF = AC

Итак, мы получили следующее неравенство:

2(AE + EF) > AC

Теперь заметим, что AE + EF представляет собой половину длины диагонали BD четырехугольника ABCD:

AE + EF = 1/2 BD

Подставим это обратно в неравенство:

2(1/2 BD) > AC

BD > AC

Теперь мы знаем, что длина диагонали BD больше длины диагонали AC. Таким образом, полусумма диагоналей (1/2 (AC + BD)) будет больше или равна BD:

1/2 (AC + BD) ≥ BD

Теперь давайте вернемся к исходной формуле, которую мы хотим доказать:

EF ≤ 1/2 (AC + BD)

Мы знаем, что BD ≤ 1/2 (AC + BD), поэтому:

EF ≤ BD

Таким образом, мы доказали, что длина отрезка EF (соединяющего середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника) меньше или равна полусумме его диагоналей:

EF ≤ 1/2 (AC + BD)

Это завершает доказательство.