Question

10) В прямоугольной трапеции с острым углом 45° большая боковая сторона равна 16√2, меньшая диагональ 20 см. Найдите периметр и площадь трапеции.

Answer 1

Опустим высоту СН:

1) Рассмотрим ∆ СDH ( угол CHD = 90° ) :

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равны 90° :

угол DCH + угол CDH = 90°

угол DCH = 90° - 45° = 45°

Значит, ∆ CDH - прямоугольный и равнобедренный


По теореме Пифагора:

CD² = CH² + HD²

2 CH² = 512

CH = HD = 16 cm

2) Рассмотрим ∆ ACH ( угол AHC = 90° ) :

По теореме Пифагора :

AC² = AH² + CH²

AH² = 20² - 16² = 144

AH = 12 cm =>

BC = AH = 12 cm
AB = CH = 16 cm


P abcd = 12 + 16 + 28 + 16√2 = 56 + 16√2 cm

S abcd = 1/2 × ( BC + AD ) × CH = 1/2 × 40 × 16 = 320 cm²


ОТВЕТ: 56 + 16√2 см ; 320 см²

Answer 2

Для решения задачи обозначим следующие величины в прямоугольной трапеции:

1. Большая боковая сторона (основание трапеции) - $a = 16\sqrt{2}$ см.
2. Меньшая боковая сторона - $b$.
3. Меньшая диагональ - $c = 20$ см.

Из условия задачи известно, что угол между большой боковой стороной и меньшей диагональю равен 45°. Таким образом, мы можем найти меньшую боковую сторону ($b$).

1. Находим $b$ с помощью тригонометрического соотношения для прямоугольного треугольника, где один из углов равен 45°:

$\sin 45° = \frac{b}{c}$ $b = c \cdot \sin 45°$ $b = 20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ $b = 10\sqrt{2}$ см.

Теперь, когда у нас есть значения обеих оснований и меньшей диагонали, можем найти площадь и периметр трапеции:

2. Площадь трапеции ($S$):

$S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$

где $h$ - высота трапеции, которую можно найти с помощью теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике с катетами $b$ и $(a - c)$:

$h = \sqrt{a^2 - (a - c)^2}$ $h = \sqrt{a^2 - (a^2 - 2ac + c^2)}$ $h = \sqrt{2ac - c^2}$ $h = \sqrt{2 \cdot 16\sqrt{2} \cdot 20 - 20^2}$ $h = \sqrt{640 - 400}$ $h = \sqrt{240}$ $h = 4\sqrt{15}$ см.

Теперь можем найти площадь:

$S = \frac{(16\sqrt{2} + 10\sqrt{2}) \cdot 4\sqrt{15}}{2}$ $S = \frac{26\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{15}}{2}$ $S = 52\sqrt{30}$ кв. см.

3. Периметр трапеции ($P$):

$P = a + b + 2c$ $P = 16\sqrt{2} + 10\sqrt{2} + 2 \cdot 20$ $P = 26\sqrt{2} + 40$ см.

Таким образом, периметр трапеции равен $26\sqrt{2} + 40$ см, а площадь трапеции равна $52\sqrt{30}$ кв. см.