Question

12) На сторонах AB, BC, CD и AD ромба ABCD взяты точки P, K, H, M соответственно. Каждая из прямых PM, KH, PK параллельна одной из осей симметрии ромба. Диагональ AC пересекает отрезок PM в точке E, а отрезок KH в точке T а) докажите,что диагонали четырехугольника EPКT равны б) определите вид четырёхугольника MPKH.

Answer 1

A)

1) Симметриями ромба являются его диагонали. Значит, PM || BD , KH || BD , PK || AC .

Так как PM || BD , KH || BD , то PM || KH , РK || AC

Значит, четырёхугольник EPKT - параллелограмм

По свойству ромба: диагонали ромба взаимно перпендикулярны =>

AC перпендикулярно BD

К тому же PM || BD , KH || BD

Значит, отрезки KH и PM перпендикулярны отрезку AC

PK || AC, KH || PM , KH и PM перпендикулярны отрезку AC

Из всего этого следует, что параллелограмм EPKT является прямоугольником

По свойству прямоугольника:

Диагонали прямоугольника равны, что и требовалось доказать

б)

Так как ромб - это симметричная фигура
следует, что относительно диагоналей AC и ВD происходит симметрия =>

∆ ABC = ∆ АСD

Из первого пункта было сказано, что EPKT является прямоугольником

Значит, прямоугольник EPKT симметрично накладывается на четырёхугольник METH, которые вследствие симметричности является также прямоугольником. А значит, весь четырехугольник МРKH является прямоугольником.

Для точности докажем, что точки Р и М, К и Н симметричны относительно диагонали АС

∆ АРЕ = ∆ АЕМ - по катету и острому углу ( угол ВАС = угол САD - по свойству ромба ; АЕ - общая сторона )
Значит, РЕ = ЕМ

Аналогично доказывается, что КТ = ТН . Поэтому точки Р и К соответственно симметричны точкам М и Н относительно диагонали АС.

ОТВЕТ: прямоугольник

Answer 2

Ромб ABCD симметричен относительно диагоналей AC, BD.

PM || BD || KH, PK||AC

(Если точки находятся по разные стороны от диагонали, то, очевидно, отрезок, соединяющий точки, пересекает диагональ и не может быть ей параллелен.)

1) Диагонали ромба перпендикулярны, AC⊥BD. Прямые, параллельные перпендикулярным, перпендикулярны*, PM⊥AC, KH⊥AC, PK⊥BD. Смежные стороны EPKT лежат на перпендикулярных прямых, EPKT - прямоугольник. Диагонали прямоугольника равны.

2) Стороны ромба равны, диагональ делит ромб на равнобедренные треугольники. Прямая, параллельная диагонали, отсекает подобный равнобедренный треугольник, PB=BK, MA=AP, KC=CH. Из равных длин вычитаем равные, AP=KC. Противоположные углы ромба равны, MA=AP=KC=CH => △MAP и △KCH равны по двум сторонам и углу между ними, PM=KH. MPKH - параллелограмм (противоположные стороны равны и параллельны). PM||BD, PK⊥BD => PM⊥PK. Параллелограмм с прямым углом - прямоугольник.

____________________________________________________________

* Соответственные углы при параллельных равны. Если секущая пересекает одну параллельную под прямым углом, то и другую она пересекает под прямым углом.

Answer 3

Для доказательства равенства диагоналей четырехугольника EPKT (точнее, равенства отрезков ET и PK), воспользуемся параллельностью прямых PM, KH и PK с осью симметрии ромба.

Дано:

1. Ромб ABCD с диагоналями AC и BD.
2. Точки P, K, H и M на сторонах AB, BC, CD и AD соответственно.
3. Прямые PM, KH и PK параллельны осям симметрии ромба (то есть параллельны сторонам ромба).

Доказательство:

1. Из параллельности прямых PM и KH с осью симметрии ромба следует, что углы APM и CKH равны углам CAB и CBA соответственно (параллельные прямые и пересекающаяся с ними прямая образуют одинаковые углы).
2. Из параллельности прямых PK и AC с осью симметрии ромба следует, что углы BPK и BAC равны между собой.

Теперь обратим внимание на треугольники APM и BPK:

• У них общий угол B, так как угол BPK равен углу BAC.
• У них равные углы APM и BKP, так как они равны соответственно углам CAB и CBA.

Таким образом, по критерию равенства треугольников (Угол-Угол-Угол) треугольники APM и BPK равны.

Аналогично, можно доказать равенство треугольников CKH и DPM.

Теперь у нас есть равные треугольники:

1. Треугольники APM и BPK равны.
2. Треугольники CKH и DPM равны.

Возьмем диагонали AC и BD ромба ABCD:

3. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O (центр ромба).

Посмотрим на треугольники APO и BDO:

• У них общий угол O.
• У них равные углы AOP и BOD, так как они равны соответственно углам APM и BKP (иначе бы треугольники APM и BPK были бы разными).
• Отсюда, по критерию равенства треугольников, треугольники APO и BDO равны.

Теперь рассмотрим треугольники CPO и BCO:

• У них общий угол O.
• У них равные углы COP и CBO, так как они равны соответственно углам CKH и DPM (иначе бы треугольники CKH и DPM были бы разными).
• Отсюда, по критерию равенства треугольников, треугольники CPO и BCO равны.

Теперь обратим внимание на четырехугольники EPKT и EOBH:

• У них общая сторона EO.
• У них равные углы EOP и EBO, так как треугольники APO и BDO равны.
• У них равные углы EPO и EBO, так как треугольники CPO и BCO равны.

Таким образом, по критерию равенства четырехугольников (Угол-Угол-Угол-Угол-Сторона) четырехугольники EPKT и EOBH равны.

Теперь, так как мы знаем, что четырехугольники EOBH и ABCD равны, их диагонали равны. Следовательно, диагонали EPKT тоже равны.

Ответ на а) доказан: диагонали четырехугольника EPKT равны.

Ответ на б) определение вида четырёхугольника MPKH: Четырехугольник MPKH — это параллелограмм, так как его противоположные стороны (PM и KH) параллельны. Это следует из условия, что прямые PM и KH параллельны осям симметрии ромба (оси симметрии являются противоположными сторонами ромба).