Question

Точка O -точка пересечения серединных перпендикуляров сторон AC и BC треугольника ABC-принадлежит его стороне AB. Докажите что точка Oсередина отрезка AB

Answer 1

Нет сейчас возможности отправить рисунок, но если нужен только ход решения, то вот:

Точкой пересечения серединых перпендикуляров треугольника является центр описанной окружности этого треугольника.
Если О принадлежит АВ, то АВ-диаметр.
Угол АВС - вписанный и опирается на диаметр, следовательно он равен 90 градусов.
Отсюда вытекает, что треугольник АВС - прямоугольный.
Радиус описанной окружности вокруг прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то есть АО=ОВ=R.
Следовательно, О-середина АВ.
Что и требовалось доказать!

Answer 2

Для доказательства того, что точка O является серединой отрезка AB, нам потребуется использовать свойства серединных перпендикуляров.

Пусть D и E - середины сторон AC и BC соответственно. Тогда O - точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам AC и BC.

Мы знаем, что серединный перпендикуляр к отрезку является линией, перпендикулярной к этому отрезку и проходящей через его середину. Таким образом, OD и OE - перпендикуляры к AC и BC, проходящие через их середины D и E соответственно.

Так как точка O лежит на обоих перпендикулярах, она должна быть на равном расстоянии от D и E, так как D и E - середины сторон треугольника ABC.

Теперь обратим внимание на сторону AB треугольника ABC. Поскольку точка O является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам AC и BC, она также должна быть перпендикулярна к AB и проходить через его середину.

Таким образом, точка O является серединой отрезка AB, так как она делит его пополам и перпендикулярна к нему. Это завершает доказательство.