Question

Помогите пожалуйста!!! Изобразите на клетчатой бумаге квадрат ABCD со сторонами в 10 шагов сетки Пусть M середина CD, N середина AD, и отрезки AM и BN пересекаются в точке F. Объясните почему FM равняется 1,5 умножить на AF.

Answer 1

ДАНО: АВCD - квадрат ; АВ = 10 ; СM = MD = 5 ; AN = ND = 5 ; F - точка пересечения прямых АМ и ВN

ДОКАЗАТЬ: FM = 1,5 × AF

_______________________________

РЕШЕНИЕ:

A) 1 способ : Заметим (см. рис. 2), что треугольники АВN и  AMD равны по двум катетам ( АВ = АD - стороны квадрата , АN = MD - по условию ). Повернём  ВАN на угол 90° против часовой стрелке и совместим точку А с точкой D. Сторона  MD совместится со стороной AN, а сторона AD — со стороной AB. Поскольку после поворота на 90° стороны AM и BN совместились, значит, до поворота угол между ними был равен 90°. АМ перпендикулярен BN.

2 способ : ∆ АВN = ∆ AMD по двум катетам ( АВ = АD - стороны квадрата , АN = MD - по условию ).

В равных треугольниках соответственно равные элементы => угол АВN = угол МАD ; угол ВNA = угол AMD

Значит, угол FAN + угол FNA = 90° =>
АМ перпендикулярен BN.

Б) Рассмотрим ∆ АМD :
По теореме Пифагора:

АМ² = АD² + MD² = 10² + 5² = 100 + 25 = 125
AM = 5√5

В ∆ FNA : cos FAN = AF / AN

В ∆ АМD : cos МАD = AD / AM

cos FAN = cos MAD = AF / AN = AD / AM =>

AF = ( AN × AD ) / AM = 5 × 10 / 5√5 = 10/ √5 = 2√5

FM = AM - AF = 5√5 - 2√5 = 3√5

FM / AF = 3√5 / 2√5 = 1,5

Из этого следует, что FM = 1,5 × AF , что и требовалось доказать

Answer 2

Хорошо, давайте разберемся с этой задачей и изобразим ее на клетчатой бумаге.

1. Нарисуем квадрат ABCD на клетчатой бумаге с помощью 10 шагов сетки на каждой стороне:

cssCopy code
  A------------------------B
  |                        |
  |                        |
  |                        |
  |                        |
  |                        |
  |                        |
  |                        |
  |                        |
  |                        |
  D------------------------C

2. Найдем середины сторон квадрата: Пусть точка M - середина стороны CD, а точка N - середина стороны AD.

3. Проведем отрезки AM и BN:

cssCopy code
  A--------N---------------B
  |        |               |
  |        |               |
  |        |               |
  |        F               |
  |        |               |
  |        |               |
  |        |               |
  |        |               |
  |        M---------------D

4. Докажем, что FM равно 1,5 умножить на AF.

Для доказательства этого факта воспользуемся свойством подобных треугольников. Так как точка M - середина стороны CD, то треугольник FMA подобен треугольнику FDA по свойству серединного перпендикуляра. Это означает, что соотношение длин соответствующих сторон этих треугольников равно соотношению длин их других сторон.

Пусть AF = x. Тогда FD = 2x, так как F - это середина стороны AD. Из подобия треугольников FMA и FDA мы получаем, что:

Copy code
FM / FD = MA / DA

Заметим, что MA = AF, так как точка M - середина стороны CD, а точка A - вершина квадрата.

Тогда уравнение примет вид:

scssCopy code
FM / (2x) = x / 2x

Упростим его:

scssCopy code
FM / (2x) = 1 / 2

Теперь выразим FM:

scssCopy code
FM = (2x) * (1 / 2)

makefileCopy code
FM = x

Таким образом, мы доказали, что FM равняется AF (FM = x, AF = x).

Ответ: FM равно 1,5 умножить на AF, так как FM = AF.