Question

В кубе ABCDA1B1C1D1 на ребре AA1 взята точка M такая, что AM=2MA1......ребре BC - точка N такая, что BN = 3NC. Найти косинус угла между ..... MN и AC1. Помогите решить, пожалуйста. С рисунком.

Answer 1

Введём трёхмерную систему координат с началом в точке В таким образом, что ось Х совпадает с ребром ВА, ось Y -- с ребром ВС, ось Z -- с ребром ВВ₁.

Длину ребра куба положим равной 12 (12 делится нацело и на 3, и на 4), чтобы не только вершины куба, но и точки M и N имели целочисленные координаты.

Определим координаты точек M, N, A и С₁:

M (12; 0; 8), N (0; 9; 0), A (12; 0; 0), С₁ (0; 12; 12).

Определим координаты векторов MN и AС₁:

MN (-12; 9; -8), AС₁ (-12; 12; 12).

cos φ = MN·AС₁ / |MN|·|AС₁| = -12·(-12)+9·12-8·12 / √((-12)²+9²+(-8)²)·√((-12)²+12²+12²) = 12·13 / 17·12√3 = 13/17√3 = 13√3/51

Answer 2

Для решения этой задачи давайте представим себе куб и обозначим точки, как показано на рисунке ниже:

javascriptCopy code
      B1______C1
      /|     / |
     /_|____/__|
   A1 |   /   | |
     |  D1----|-C
     | /     | /
     |/______|/
    A        B

Пусть точка M находится на ребре AA1, причем AM = 2MA1, и точка N находится на ребре BC, причем BN = 3NC.

Так как угол между векторами определяется косинусом угла между ними, нам нужно найти косинус угла между векторами MN и AC1.

Для начала, найдем координаты векторов MN и AC1:

Пусть координаты точек A и C1 равны (0, 0, 0) и (1, 1, 1) соответственно (предположим, что ребро куба имеет длину 1). Тогда координаты точек M и N будут (0, 0, 2) и (1, 3, 1) соответственно.

Теперь найдем векторы MN и AC1:

Вектор MN: MN = (1, 3, 1) - (0, 0, 2) = (1, 3, -1) Вектор AC1: AC1 = (1, 1, 1) - (0, 0, 0) = (1, 1, 1)

Далее, найдем скалярное произведение векторов MN и AC1:

MN · AC1 = (1 * 1) + (3 * 1) + (-1 * 1) = 1 + 3 - 1 = 3

Теперь найдем длины векторов MN и AC1:

Длина вектора MN: |MN| = √(1^2 + 3^2 + (-1)^2) = √11 Длина вектора AC1: |AC1| = √(1^2 + 1^2 + 1^2) = √3

Теперь можем найти косинус угла между векторами MN и AC1 по формуле:

cos(θ) = (MN · AC1) / (|MN| * |AC1|)

cos(θ) = 3 / (√11 * √3) = 3 / √33

Таким образом, косинус угла между векторами MN и AC1 равен 3 / √33.

На этом решение задачи заканчивается.