Question

В кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром, равным 6, на ребре AA1 взята точка М так, что AM:МА1=1/2. На ребре D1C1 взята точка N так, что D1N:NC1=1/2. а) Докажите, что прямые MB1 и CN перпендикулярны. б) найдите расстояние от точки М до прямой CN

Answer 1

Проведем плоскость (MB1C1).

(MB1C1) пересекает DD1 в точке K.

CN и KC1 пересекаются в точке H.

Следы в параллельных гранях - параллельны.

MK||B1C1, MB1||KC1

а)

MK||AD, KD1=MA1=NC1 =2/3 *6 =4

△C1KD1=△CNC1 (по двум катетам) => ∠C1KD1=∠CNC1

∠C1KD1 +∠D1C1K =90 => ∠CNC1 +∠D1C1K =90 => ∠C1HN =90

KC1⊥CN => MB1⊥CN

б)

B1C1⊥(CC1D1) => B1C1⊥CN

CN⊥B1C1, CN⊥KC1 => CN⊥(MB1C1) => CN⊥MH

MH - искомое расстояние

C1K =√(C1D1^2 +KD1^2) =√(6^2 +4^2) =2√13

△C1NH~△C1KD1 => C1N/C1K =C1H/C1D1 => 4/2√13 =C1H/6 => C1H =12/√13

KH =C1K -C1H =2√13 -12/√13 =14/√13

MH =√(MK^2 +KH^2) =√(6^2 +14^2/13) =2√(166/13)

Answer 2

а) Докажем, что прямые MB1 и CN перпендикулярны.

Пусть точка A находится в начале координат, а её координаты равны (0, 0, 0). Точка A1 имеет координаты (6, 0, 0), так как она находится на том же ребре, что и A, но в противоположной точке.

Точка M имеет координаты (3, 0, 0), так как AM:MA1=1:2, и M делит отрезок AA1 пополам. Точка B1 имеет координаты (0, 6, 0), так как она находится на том же ребре, что и B, но в противоположной точке.

Точка C1 имеет координаты (6, 6, 6), так как она находится на том же ребре, что и C1, но в противоположной точке. Точка D1 имеет координаты (0, 6, 6), так как она находится на том же ребре, что и D1, но в противоположной точке.

Точка N делит отрезок D1C1 пополам, поэтому её координаты равны ((0+6)/2, (6+6)/2, (6+0)/2) = (3, 6, 3).

Вектор MB1 можно найти как разницу векторов M и B1:

MB1 = B1 - M = (0, 6, 0) - (3, 0, 0) = (-3, 6, 0).

Вектор CN можно найти как разницу векторов C1 и N:

CN = N - C1 = (3, 6, 3) - (6, 6, 6) = (-3, 0, -3).

Теперь для проверки перпендикулярности векторов MB1 и CN найдем их скалярное произведение. Если оно равно нулю, то векторы перпендикулярны:

MB1 · CN = (-3, 6, 0) · (-3, 0, -3) = (-3) * (-3) + 6 * 0 + 0 * (-3) = 9.

Скалярное произведение векторов MB1 и CN не равно нулю, следовательно, они не перпендикулярны. Ответ на часть (а) вопроса: Прямые MB1 и CN не перпендикулярны.

б) Чтобы найти расстояние от точки M до прямой CN, мы можем воспользоваться формулой для расстояния от точки до прямой в трехмерном пространстве. Расстояние D от точки M до прямой CN можно вычислить по следующей формуле:

D = |(CM × MN)| / |CN|,

где × обозначает векторное произведение, |A| обозначает длину вектора A, и CM, MN и CN - соответствующие векторы.

Мы уже вычислили вектор CN как (-3, 0, -3). Теперь найдем векторы CM и MN:

CM = M - C1 = (3, 0, 0) - (6, 6, 6) = (-3, -6, -6),

MN = N - M = (3, 6, 3) - (3, 0, 0) = (0, 6, 3).

Теперь найдем векторное произведение CM × MN:

CM × MN = |i j k | |-3 -6 -6| | 0 6 3|

= i * (6 * 3 - (-6) * 6) - j * (-3 * 3 - (-6) * 0) + k * (-3 * 6 - (-6) * 0) = i * (18 + 36) - j * (-9) + k * (-18) = i * 54 + j * 9 - k * 18.

Теперь найдем длины векторов CM × MN и CN:

|CM × MN| = √(54^2 + 9^2 + 18^2) = √(2916 + 81 + 324) = √3321 = 57,

|CN| = √((-3)^2 + 0^2 + (-3)^2) = √(9 + 0 + 9) = √18.

Теперь можем вычислить расстояние D:

D = |(CM × MN)| / |CN| = 57 / √18 = (57 / √18) * (√18 / √18) = (57√18) / 18 = 3√18.

Ответ на часть (б) вопроса: Расстояние от точки М до прямой CN равно 3√18.