Question

(cosx)^3+(sinx)^3=0 Сколько корней имеет уравнение на отрезке [0;π]?

Answer 1

Разделим обе части уравнения на cos³x≠0, получим

$1+tg^3x=0\\ tg^3x=-1\\ tgx=-1\\ x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,n \in \mathbb{Z}$

отбор корней:

$n=1;~~ x=-\frac{\pi}{4} +\pi =-\frac{\pi}{4} +\frac{4\pi}{4} =\frac{3\pi}{4}$

Уравнение имеет один корень на отрезке [0;π].

Answer 2

розписать как суму кубов

(cosx+sinx)*((cosx)^2-sinx*cosx+(sinx)^2)=0

(cosx)^2+(sinx)^2=1

cosx+sinx=0 ; cosx=-sinx

або

1-sinx*cosx=0 ; sinx*cosx=1 -кореней нет

cosx=-sinx

делим на cosx

tgx=-1

x=-П/4+Пn, nЄZ

в границах [0;П] один корень

Answer 3

Для определения количества корней уравнения на заданном отрезке, нам нужно исследовать его поведение на этом интервале. Для упрощения обозначим $\cos(x)$ как $c$ и $\sin(x)$ как $s$. Тогда уравнение можно записать в виде:

$c^3 + s^3 = 0$

Мы знаем, что $c^2 + s^2 = 1$, так как $(c, s)$ представляет собой точку на единичной окружности. Теперь воспользуемся формулой для суммы кубов:

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Применяя эту формулу к уравнению, получим:

$c^3 + s^3 = (c + s)(c^2 - cs + s^2) = 0$

Таким образом, у нас есть два множителя, которые равны нулю:

1. $c + s = 0$
2. $c^2 - cs + s^2 = 0$

Рассмотрим их по очереди:

1. $c + s = 0$

Используем $c^2 + s^2 = 1$, чтобы получить:

$c^2 + (-c)^2 = 1$ $2c^2 = 1$ $c^2 = \frac{1}{2}$ $c = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Если $c = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то $s = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Если $c = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, то $s = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Таким образом, уравнение $c + s = 0$ имеет два корня на отрезке $[0, \pi]$: $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ и $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

2. $c^2 - cs + s^2 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $c$. Решим его:

$c = \frac{s \pm \sqrt{s^2 - 4s^2}}{2}$ $c = \frac{s \pm \sqrt{-3s^2}}{2}$

Так как $s^2$ всегда неотрицательно, то $\sqrt{-3s^2}$ 0 0